1、4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式学 习 目 标核 心 素 养1.了解正弦函数、余弦函数的基本性质2会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式(难点)3掌握诱导公式及其应用(重点)1.通过借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式，提升逻辑推理素养2通过诱导公式的应用，提升数学运算素养1正弦函数、余弦函数的基本性质从单位圆看出正弦函数ysin x有以下性质(1)定义域是R；(2)最大值是1，最小值是1，值域是1，1；(3)它是周期函数，其周期是2k(kZ)；(4)在0，2上的单调性为：在上是单调递增；在上是单调递减；在上是单调递增同样，从单位圆也可看出余
2、弦函数ycos x的性质思考1：正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？提示设任意角x的终边与单位圆交于点P(cos x，sin x)，当自变量x变化时，点P的横坐标是cos x，|cos x|1，纵坐标是sin x，|sin x|1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为1.2诱导公式的推导(1)诱导公式(，)的推导在直角坐标系中与角的终边关于x轴对称；与的终边关于原点对称；与的终边关于y轴对称公式sin ()sin ，cos ()cos ；sin ()sin ，cos ()cos ；sin ()sin ，cos ()cos (2)诱导公式的推导的终边与的终边关于直线yx对称公式
3、sin cos ，cos sin 用代替并用前面公式sin cos ，cos sin 思考2：设为任意角，则2k，2k，的终边与的终边有怎样的对应关系？提示它们的对应关系如表：相关角终边之间的对应关系2k与终边相同与关于原点对称与关于x轴对称2与关于x轴对称与关于y轴对称1当R时，下列各式恒成立的是()A.sin cos B.sin ()sin C.cos (210)cos (30)D.cos ()cos ()D由诱导公式知D正确2cos 300sin 450的值是()A.1BC.1 DD原式cos (36060)sin (36090)cos (60)sin 90cos 601.3cos 的值
4、是()A.B CDDcos cos cos .4ysin x，x的单调增区间为_，单调减区间为_在单位圆中，当x由到时，sin x由0减小到1，再由1增大到.所以它的单调增区间为，单调减区间为.正弦、余弦函数的性质【例1】求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x的值(1)ysin x，x；(2)ycos x，x.解(1)由图可知，ysin x在上是增加的，在上是减少的且当x时，ysin x取最大值1，当x时，ysin x取最小值. (2)由图可知，ycos x在，0上是增加的，在上是减少的且当x时取最小值1，当x0时，取最大值1.利用单位圆研究三角函数性质的方法第一
5、步：在单位圆中画出角x的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点P(cos x，sin x)；第三步：研究P点横坐标及纵坐标随x的变化而变化的规律；第四步：得出结论1求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x的值(1)ysin x，x；(2)ycos x，x，.解(1)ysin x，x的单调递减区间为，单调递增区间为.当x时，ymin1；当x时，ymax0，故函数ysin x，x的值域为.(2)ycos x，x，的单调递减区间为0，单调递增区间为，0.当x0时，ymax1；当x或时，ymin1，故函数ycos x，x，的值域为1，1.给角求值【例2】求下列三角函数式的
6、值：(1)sin 495cos (675)；(2)sin cos .解(1)sin 495cos (675)sin (135360)cos 675sin 135cos 315sin (18045)cos (36045)sin 45cos 45.(2)sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 0.利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值2求下列三角函数值(1)sin cos；(2)sin .解(1)sin cos sin cos sin cos .(2)sin sin sin s
7、in .三角函数式的化简【例3】化简下列各式：(1)；(2).解(1)原式cos .(2)原式1.三角函数的化简，尽量化为2k的形式，否则：(1)形如k时，应对k进行奇数和偶数两种情形讨论；(2)形如时，应分k3n，k3n1，k3n2(nZ)三种情形讨论3化简下列各式(1)；(2).解(1)原式1.(2)原式.给值求值问题探究问题1有条件的三角函数求值问题的基本思路是什么？提示对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值2当已知条件给出的是复合角时应如何解决问题？提示当所给的角是复合角时，不
8、易看出已知角与所求角的联系，可将已知角看成一个整体，用这个整体去表示所求角，便可发现它们之间的关系【例4】(1)已知sin ()，且是第四象限角，则cos (2)的值是()A.BCD(2)已知cos ，求cos sin2的值思路探究(1)直接利用诱导公式求解，注意角所在的象限(2)利用复合角之间的关系及诱导公式求解(1)B因为sin()，且sin ()sin ，所以sin ，又因为是第四象限角，所以cos (2)cos .(2)解：因为cos cos cos ，sin2sin21cos21，所以cossin2.1(变条件，变结论)将例(2)中的“”改为“”，“”改为“”，其他不变，应如何解答？
9、解由题意知cos，求cos sin2的值因为coscos cos ，sin21cos21，所以cossin2.2(变结论)例(2)中的条件不变，求cossin2的值解cossin2cossin2cossin2.解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化1诱导公式的选择方法：先将化为正角，再用2k(kZ)把角化为0，2内的角，再用，2化为锐角的三角函数，还可继续用化为内的角的三角函数由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱
10、导公式真是好，负化正后大化小2解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)ysinx在，上是增加的()(2)ycos x在0，上是递减的()(3)sin (2)sin .()(4)诱导公式中的角只能是锐角()答案(1)(2)(3)(4)2已知sin ()0，cos ()0，则所在象限是()A.第一象限B第二象限C.第三象限 D第四象限B由sin ()sin 0sin 0，cos ()cos 0cos 0，由可知是第二象限角3已知cos ()，则sin _cos ()cos ，cos .又sin cos .4计算：cos sin.解原式cos sin cos sin .