1、江苏省南京市中华中学2019-2020学年高二数学上学期3月阶段性考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分1.已知函数，则（ ）A. 2B. -2C. 1D. -1【答案】B【解析】【分析】由已知算出，再将带入计算即可.【详解】由已知得，所以.故选：B.【点睛】本题考查初等函数的导数公式及导数的运算法则，是一道基础题2.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有（ ）A. 12种B. 7种C. 14种D. 49种【答案】D【解析】【分析】分两步：进门有7种方式，出门有7种方式，由分步乘法计数原理即可得到答案.【详解】由题意某人从
2、体育场进门有7种方式，出门有7种方式，根据分步计数原理可知他进、出门的方案有种.故选：D.【点睛】本题考查分类加法、分步乘法计数原理，考查学生计数原理的理解，是一道容易题.3.已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：要使复数对应的点在第四象限,应满足，解得，故选A.【考点】 复数的几何意义【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可复数zabi复平面内的点Z（a，b）（a，bR）复数zabi（a，bR）平面向量.4.若函数
3、在区间上单调递增，则取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由在单调递增得到在上恒成立，再将问题转化为在上恒成立.【详解】因为在上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，又在的值域为，所以.故选：B.【点睛】本题考查已知函数单调性求参数的范围，要提醒一点的是：若函数单调递增，则应用来解决，本题是一道基础题.5.在已知复数满足：（i是虚数单位），则z的虚部为（ ）A. 2iB. -2iC. 2D. -2【答案】D【解析】【分析】先利用复数的除法运算得到，再根据虚部的定义即可得到答案.【详解】由已知得，所以的虚部为.故选：D.【点睛】本题考查复数的定义及复数的除法运算，是一道
4、基础题.6.已知函数的图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题，根据图像和导数的几何意义，可得，同时再根据割线的性质，可得，代入可得答案.【详解】结合函数的图象可知过点的切线的倾斜角较大，过点的切线的倾斜角较小，又过点的切线的斜率，过点的切线的斜率，直线的斜率，故，故选C【点睛】本题考查了导函数的额几何意义，熟悉几何意义即在点的导函数值就是切线的斜率，属于较为基础题.7.在复平面中，满足等式复数z所对应点的轨迹是（ ）A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆【答案】C【解析】【分析】先设，再根据复数模的运算可得到答案.【详解
5、】设，则，即，所以z所对应的点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆.故选：C.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数模的计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.8.设是偶函数（且）的导函数，当时，则使成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先令，由已知条件得到奇偶性及单调性，再由得或，分别解不等式即可.【详解】令，由为偶函数，得，故为奇函数，且，又当时，所以在上单调递减，又为奇函数，所以在上单调递减，令得或，解得或.故选：D.【点睛】本题考查构造函数，利用所构造函数的导数解决不等式的问题，涉及到函数单调性、奇偶性等性质，是一道中档题.二、多项选择题：本题共4小题，
6、每小题5分，共计20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得一半分，有选错的得0分9.若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质，下列函数中具有T性质的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】由题意关键看选项中的函数的导函数，否存在点，使得成立.【详解】由题意具有T性质，则存在，使得.对于选项A，因为，存在，使得；对于选项B，因为，不存在，使得；对于选项C，因为，不存在，使得；对于选项D，因为，存在，使得.故选AD.【点睛】本题考查新定义函数、导数的计算及导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.1
7、0.对任意复数，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，有如下四个命题：； ； 则真命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】只需按照定义只需将转化成，然后利用复数的运算性质即可推理得出答案.【详解】由题意，故正确；，故 正确；，故不正确；，故不正确.故选：AB【点睛】本题考查新定义运算问题，涉及了复数的四则运算，要做好此类问题，只需把新定义运算理解清楚，然后再进行逻辑推理与计算，从而达到解决问题的目的.11.已知函数，下列结论中正确的是（ ）A. ，B. 若有极大值M，极小值m，则必有C. 若是极小值点，则在区间上单调递减D. 若，则是的极值点【答案】ABC【解析】【分析】
8、对于A，利用零点存在性定理解决，对于B、C可根据条件及的单调性判断，对于D利用极值点的概念即可判断.【详解】因为当时，当时，由零点存在性定理知，故A正确；因为，若有极大值M，极小值m，则有两根，不妨设，易得在上单调递增，在，单调递减，所以，故B、C正确；导数为0的点不一定是极值点，故D错误.故选ABC【点睛】本题考查利用导数研究三次函数的性质，涉及到函数的零点、极值、极值点、单调性等性质，是一道中档题.12.设函数，若存在唯一的整数，使得，则满足题意的的取值范围可以是（ ）A B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】先将问题转化为存在唯一的整数，使得的图象低于的图象的问题，然后再通过求导
9、作出两个函数的图象，数形结合即可得到.【详解】由题意存在唯一的整数，使得即，令，则，易知在单调递增，在单调递减，作出与的图象，由题可知这个可能为0或2，当为0时，如图一所示，则只需且同时成立，解得；当为2时，如图二所示，且同时成立，解得故选：BD.【点睛】本题考查导数在不等式中的运用，涉及了转化与化归的思想以及数形结合的思想，有一定难度及高度，是一道较好的压轴选择题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.若，则_【答案】6【解析】【分析】根据排列数公式计算即可.【详解】因为，所以，解得.故答案为：6.【点睛】本题考查排列数公式的计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.14.函
10、数，的最小值是_【答案】0【解析】【分析】利用导数先求出在上的单调区间，再利用函数单调性找最小值.【详解】因为，所以在上单调递增，在单调递减，又，.故答案为：0.【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，是一道容易题.15.已知复数，若（，），则_【答案】-1【解析】【分析】由得，所以的周期3，再利用的周期计算即可.【详解】因为，所以，所以的周期3，所以，所以.故答案为：-1.【点睛】本题考查复数的运算性质，特别是复数是有周期的，周期为3，本题考查学生的计算能力，是一道中档题.16.已知函数，函数，若函数与函数的图像有三个公共点，则实数取值范围是_【答案】【解析】【分析】先将所求问题转化为与的图
11、象有三个不同的交点，再通过求导、数形结合即可解决.【详解】由题意知有三个不同的根，即有三个不同的根，也即与的图象有三个不同的交点，令，则，易知在上递增，在上递减，且为奇函数，作出图象如图所示：所以，解得.故答案为：.【点睛】本题考查导数研究两函数图象交点的问题，考查学生转化与化归的思想以及数形结合的思想，做这类题目一定要结合图象来分析，有一定难度及高度，是一道较好的压轴填空题.四、解答题：本题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17.现有3名医生，5名护士、2名麻醉师（1）从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？（2）从这些人中选出
12、1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？【答案】（1）10；（2）30【解析】【分析】（1）只需分类，按照加法原理相加即可；（2）只需分步，按照乘法原理相加即可.【详解】（1）分三类：第一类：选出的是医生，共有3种选法； 第二类：选出的是护士，共有5种选法；第三类：选出的是麻醉师，共有2种选法；根据分类加法计数原理，共有3+5+2=10种选法.（2）分三步：第一步：选出1名医生，共有3种选法； 第二步：选出1名护士，共有5种选法；第三步：选出1名麻醉师，共有2种选法；根据分步乘法计数原理，共有种选法.【点睛】本题考查分类加法原理和分步乘法原理的简单应用，是一道基础题
13、.18.若是关于x的实系数方程的一个复数根（1）试求b，c的值；（2）在复数范围内求出该方程的另一个根【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将带入方程化简即可得到答案；（2）由（1）方程为，再利用求根公式即可.【详解】（1）将带入方程得，化简得，所以，解得（2）由（1）可知方程为，用求根公式可得，所以该方程的另一个根为.【点睛】本题考查复数的运算，通过本题可知实系数方程的虚根是成对出现的，也即若是方程 的根，则也一定是该方程的根.19.已知函数（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求，令，求出极值点，极值和区
14、间端点的函数值，即求最大值；（2）设出切点，写出切线方程，把点的坐标代入切线方程，得.设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同的零点”.求，判断的单调性，即可求解.【详解】（1）由得.令，得或.因为，所以在区间上最大值为.（2）设过点的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率为，所以切线方程为，因此，整理得.设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同的零点”.当变化时，与的变化情况如下：01+0-0+所以，是的极大值，是的极小值.当，即时，在区间和上分别至多有1个零点，以至多有2个零点.当，即时，在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点.当且，即时，因为，所以分别在
15、区间和上恰有1个零点.由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是.【点睛】本题考查导数的综合应用，属于较难的题目.20.已知函数（1）求的极大值和极小值；（2）曲线的切线l的斜率为正数时，求l在x轴上截距的最大值【答案】（1）极大值为，极小值为0；（2）【解析】【分析】（1）求出的导函数，分别令与得到单调性即可解决；（2）设切点为，则利用点斜式求得切线方程，再令得到截距，最后利用基本不等式求最大值.【详解】（1）由已知得，由得，由得或，所以在上单调递增，在，单调递减，所以是极小值点，是极大值点，又，故的极大值和极小值分别为.（2）
16、设切点为，则切线方程为，令得，因为曲线的切线l的斜率为正数，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以l在x轴上截距的最大值为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、函数的切线方程问题，解题过程中涉及到基本不等式求最值，需要学生有较好的计算能力，是一道中档题.21.已知函数.（）讨论的单调性；（）若，求的取值范围.【答案】（）的单调递减区间是，单调递增区间是.（）【解析】试题分析：（）函数求导，定义域为，由，可得或进而讨论导函数的正负得函数单调性即可；（）若恒成立，只需即可，讨论函数单调性求最值即可.试题解析：（）函数的定义域为，.由，可得或，当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，没有单调递减
17、区间；当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是. （）由（）知，当时，符合题意.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即，所以，所以.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即.所以，所以.综上所述，实数的取值范围是.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .22.已知函数，（1）判断的零点个数
18、，并说明理由：（2）设是的零点，证明：曲线在处的切线与曲线有且只有一个公共点【答案】（1）1，见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求导利用函数单调性及零点存在性定理解决；（2）先由已知得到切线方程，构造，问题转化为证明只有一个零点.【详解】（1）由已知得，所以，所以在上单调递增，又，由零点存在性定理可知，存在唯一，使得，故的零点个数为1.（2）曲线在处的切线方程为，即，因为是的零点，所以，即令，求导，由得，由得，故在上单调递增，在上单调递减，所以最大值为，由可知，所以只有一个零点即曲线在处的切线与曲线有且只有一个公共点.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及了利用导数讨论函数的零点问题，以及证明曲线与曲线的公共点个数的问题，在解决曲线与曲线的公共点个数的问题时，通常是构造函数转化为函数零点的个数问题，本题是一道难题.
