1、 高考资源网（） 您身边的高考专家1.3.2 锥体中的线面关系及计算一、选择题1对于空间的两条直线m，n和一个平面，下列命题中的真命题是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，n，则mn解析：对于A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对于B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对于C，m与n可能垂直，也可能异面，故C错误；对于D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确答案：D2“直线l垂直于平面”的一个必要不充分条件是()A直线l与平面内的任意一条直线垂直B过直线l的任意一个平面与平面垂直C存在平行于直线l的直线与平面垂直D经过直线l的某一个平面与平面垂直
2、解析：A，B，C均为充要条件，因为“直线l垂直于平面”可以推得“经过直线l的某一个平面与平面垂直”，反之未必成立故选D.答案：D3正四面体ABCD中，AO平面BCD，垂足为O，设M是线段AO上一点，且BMC90，则的值为()A1 B.2 C. D.解析：如图，连接OB，设正四面体的棱长为a，则OBa，MBa，故OMaAO，则1.答案：A4设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是()Am，n，且，则mnBm，n，且，则mnCm，n，mn，则Dm，n，m，n，则解析：用排除法，B错，因为m，n有可能异面；C错，因为时，同样有mn；D错，因为满足条件时，与也有可能相交故选A.答案
3、：A5已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA2，AB1，AC2，BAC60，则球O的表面积为()A4 B.12 C.16 D.64解析：AB1，AC2，BAC60，ABBC.SA平面ABC，BC平面SAB，BCSB，SC是球O的直径SA2，AC2，SC4.球O的表面积为16.故选C.答案：C6已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A3 B. C.1 D.解析：D是等边三角形ABC的边BC的中点，ADBC.又ABCA1B1C1为正三棱柱，AD平面BB1C1C.四边形BB1C1C为矩形，SDB1C1S四边
4、形BB1C1C2.又AD2，VAB1DC1SB1DC1AD1.答案：C7(2019南宁摸底联考)三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAPBPC3，PAPB，三棱锥PABC的外接球的体积为()A. B.C27 D.27解析：本题考查三棱锥的性质、球体的体积因为PAPB3，PAPB，所以AB3，又因为ABC为等边三角形，所以ABC的外接圆的半径r，则顶点P到底面ABC的距离d，则三棱锥PABC的外接球的半径R满足R2r2(Rd)2，解得R，所以三棱锥PABC的外接球的体积VR3，故选B.答案：B8如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，
5、某学生得出下列四个结论：BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC.其中正确的有()A B.C D.解析：由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，又由知正确；由知错故选B.答案：B9将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为()A. B. C. D.解析：如图所示，设圆柱的半径为r，高为x，体积为V.由题意可得，所以x22r，所以圆柱的体积Vr2(22r)2(r2r3)(0r1)，设V(r)2(r2
6、r3)(0r1)，则V(r)2(2r3r2)，由2(2r3r2)0得r，所以圆柱的最大体积Vmax2.答案：B10如图，圆锥的底面直径AB2，母线长VA3，点C在母线VB上，且VC1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到达点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是()A. B.C. D.解析：把圆锥的半侧面展开，侧面展开图中，半径r3，故圆心角AVB.如图在VAC中，根据余弦定理得AC，此即为蚂蚁爬行的最短距离答案：B11已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，ABBC，AC2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为()A. B.8 C. D.解析：ABBC，AC2，ABC是直角三角形，ABC的外
7、接圆的圆心为边AC的中点O1，如图所示若使四面体ABCD体积取得最大值只需使点D到平面ABC的距离最大，又OO1平面ABC，点D是直线OO1与球上方的交点时体积最大设球的半径为R，则由体积公式有O1D2.在RtAOO1中，R21(2R)2，解得R，故球的表面积S.故选C.答案：C12如图，已知平面四边形ABCD，ABBC3，CD1，AD，ADC90.沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是()A. B. C. D.解析：如图，过点B作BEAC于点E，过点D作DFAC于点F，在平面ABC内过点F作FG綊BE.连接BG，DG，则BGDG，DBG就是AC与BD所成的角设D
8、FG.经计算得DF，BEFG，CF，EFBG，在DFG中，由余弦定理得DG2DF2FG22DFFGcos 5cos .在RtDGB中，BD，cosDBG.当cos 1时，cosDBG有最大值为.答案：B二、填空题13若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的正弦值为.解析：设圆锥的高为h，底面半径为r，母线与轴所成角为，则S侧2r，S底r2.因为S侧3S底，所以r3r2，得3r，即8r2h2，所以tan ，sin .答案：14设，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：若n，n，m，则nm；若m，n，m，n，则；若，m，n，nm，则n；若m，mn，则n.其中正确
9、的命题序号为.解析：由线面平行的性质定理知正确；由面面平行的判定定理知直线m，n相交时才成立，所以错误；由面面垂直的性质定理知正确；中，可以是n，所以错误，即正确命题是.答案：15如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点若平面PAD平面ABCD，PAPDAD2，点M在线段PC上，且PM2MC，则四棱锥PABCD与三棱锥PQBM的体积之比是.解析：过点M作MHBC交PB于点H.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PQAD，PQ平面ABCD.PAPDADAB2，BAD60，PQBQ.VPABCDPQS菱形ABCD22.又PQBC，BQAD，ADBC
10、，BQBC，又QBQPQ，BC平面PQB.由MHBC得，MH平面PQB，.BC2，MH，VPQBMVMPQB.VPABCDVPQBM31.答案：3116如图，ACB90，DA平面ABC，AEDB交DB于E，AFDC交DC于F，且ADAB2，则三棱锥DAEF体积的最大值为_解析：因为DA平面ABC，所以DABC，又BCAC，DAACA，所以BC平面ADC，所以BCAF.又AFCD，BCCDC，所以AF平面DCB，所以AFEF，AFDB.又DBAE，AEAFA，所以DB平面AEF，所以DE为三棱锥DAEF的高因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE，DE，设AFa，FEb，则AEF的面积
11、Sab，所以三棱锥DAEF的体积V(当且仅当ab1时等号成立)答案：三、解答题1如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积解析：(1)证明：在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD，又BC平面PAD，AD平面PAD，故 BC平面PAD.(2)取AD的中点M，连接PM，CM.由ABBCAD，BCAD，ABC90得，四边形ABCM为正方形，则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM平
12、面ABCD.因为CM底面ABCD ，所以PMCM.设BCx，则CMx，CDx，PMx，PCPD2x，取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以PNx.因为PCD的面积为2，所以xx2，解得x2, 于是ABBC2, AD4, PM2.所以四棱锥PABCD的体积V24.2(2019长春模拟)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，PAPB，ADBC，ABAC，ADBC1，PD3，BAD120，M为PC的中点(1)证明：DM平面PAB；(2)求四面体MABD的体积解析：(1)证明：取PB中点N，连接MN，AN.M为PC的中点，MNBC且MNBC.又ADBC，且ADBC，得MN綊AD.AD
13、MN为平行四边形，DMAN.又AN平面PAB，DM平面PAB，DM平面PAB.(2)取AB中点O，连接PO.PAPB，POAB，又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PO平面PAB，则PO平面ABCD.取BC中点H，连接AH.ABAC，AHBC，又ADBC，BAD120，ABC60.RtABH中，BHBC1，AB2，AO1，又AD1，在AOD中，由余弦定理得，OD.在RtPOD中，PO.又SABDABADsin 120，VMABDSABDPO.3如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥ABCD.(1)求证：平面AOC平
14、面BCD；(2)若三棱锥ABCD的体积为，且AOC是钝角，求AC的长解析：(1)证明：四边形ABCD是正方形，BDAO，BDCO.折起后仍有BDAO，BDCO，AOCOO，AO，CO平面AOC，BD平面AOC.BD平面BCD，平面AOC平面BCD.(2)由(1)知BD平面AOC，VABCDSAOCBD，OAOCsinAOCBD，即sinAOC2，sinAOC.又AOC是钝角，AOC120.在AOC中，由余弦定理得AC2OA2OC22OAOCcosAOC()2()22cos 1206，AC.4已知空间几何体ABCDE中，BCD与CDE均是边长为2的等边三角形，ABC是腰长为3的等腰三角形，平面C
15、DE平面BCD，平面ABC平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；(2)求三棱锥EABC的体积解析：(1)平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD，过E作EQ平面BCD，交CD于Q，过A作AP平面BCD，交BC于P，EQAP，过Q作QOBC，交BD于O.则直线OQ就是在平面BCD内所求的直线，使得直线OQ上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行证明如下：EQAP，QOBC，EQQOQ，APBCP，EQ，QO平面EQO，AP，BC平面ABC，平面EQO平面ABC，直线OQ上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行(2)BCD与CDE均为边长为2的等边三角形，ABC为腰长为3的等腰三角形，且平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD，AP2.SABC222，连接DP交OQ于点N，连接EN.点E到平面ABC的距离dNPDP，三棱锥EABC的体积VEABCdSABC2. 高考资源网版权所有，侵权必究！
