1、学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(1,2)，(3,0)，(5,1)，则顶点D的坐标是()A.(9，1)B.(3,1)C.(1,3)D.(2,2)【解析】设D点坐标为(x，y)，则即故D点坐标为(1,3).故应选C.【答案】C2.方程(x24)2(y24)20表示的图形是()A.两条直线B.四条直线C.两个点D.四个点【解析】由方程得解得或或或故选D.【答案】D3.在同一平面直角坐标系中，将曲线ycos 2x按伸缩变换后为()A.ycos xB.y3cosxC.y2cosxD.ycos 3x【解析】由得代入ycos 2x，得c
2、os x.ycos x，即曲线ycos x.【答案】A4.将圆x2y22x4y10平分的直线是()A.xy10B.xy30C.xy10D.xy30【解析】因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.【答案】C5.平面内有一条固定线段AB，|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，O为AB的中点，则|OP|的最小值是() 【导学号：12990002】A.B.C.2D.3【解析】以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一部分.2c4，c2,2a3，a，b2c2a24.点P的轨迹方程为1.由图可知，点P为双曲线与x轴的右交点
3、时，|OP|最小，|OP|的最小值是.【答案】A二、填空题6.x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中，以原点为圆心，4为半径的圆的图形变为_.【解析】如果x轴上的单位长度不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，圆x2y216的图形变为中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆.【答案】椭圆7.已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x21，则点P的轨迹方程是_.【解析】由题意得(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)(y)2x21，即y25x50.【答案】y25x508.如图112所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AMAB，点P在平面ABC
4、D上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是_.图112【解析】过P作PQAD于Q，再过Q作QHA1D1于H，连结PH，PM，可证PHA1D1，设P(x，y)，由|PH|2|PM|21，得x211，化简得y2x.【答案】y2x三、解答题9.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，求城市B处于危险区内的时间.【解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B点坐标为(40,0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x40)2y23
5、02，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线yx，与圆B相交于点M，N，点B到直线yx的距离d20.求得|MN|220(km).所以1，所以城市B处于危险区内的时间为1 h.10.A为定点，线段BC在定直线l上滑动.已知|BC|4，A到l的距离为3，求ABC的外心的轨迹方程.【解】建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，A点在y轴上(如图)，则A点的坐标为(0,3).设外心P点的坐标为(x，y).P在BC的垂直平分线上，B(x2,0)，C(x2,0).P也在AB的垂直平分线上，|PA|PB|，即，化简得x26y50.这就是所求的轨迹方程.能力提升1.方程x2xy0的曲线
6、是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线【解析】x2xyx(xy)0，即x0或xy0.故方程x2xy0表示两条直线.【答案】C2.已知ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，且sin Bsin Csin A，若以底边BC为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A的轨迹方程是() 【导学号：12990003】A.1B.1(x3)C.1D.1(x3)【解析】由题意知，B(6,0)，C(6,0)由sin Bsin Csin A，得bca6，即|AC|AB|6.所以点A的轨迹是以B(6,0)，C(6,0)为焦点，2a6的双曲线的左支且y0.其方程为1(x1)
7、的点的轨迹.给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_.【解析】因为原点O到两个定点F1(1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a1，所以曲线C不过原点，即错误；因为F1(1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1|PF2|a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为SF1PF2|PF1|PF2|sin F1PF2|PF1|PF2|a2，即面积不大于a2，所以正确.【答案】4.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图113，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为1，变轨(即航
8、天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0).观测点A(4,0)，B(6,0).图113(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，航天器离观测点A，B分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】(1)设曲线方程为yax2，点D(8,0)在抛物线上，a，曲线方程为yx2.(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知得4y27y360.y4或y(舍去)，y4，得x6或x6(舍去).C点的坐标为(6,4)，|AC|2，|BC|4.所以当航天器离观测点A，B的距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令.
