1、第二章单元评估卷(二)限时：120分钟 满分：150分第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1抛物线 yax2 的准线方程是 y1，则 a 的值为()A4 B4C14D.142若椭圆 x23my22m11 的焦点在 y 轴上，则实数 m 的取值范围是()A.12，1B(0,1)C.0，12D.12，123已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 52，则 C 的渐近线方程为()Ay14xBy13xCy12xDyx4已知双曲线 y2x21 的离心率为 e，且抛物线 y22px 的
2、焦点坐标为(e2,0)，则 p 的值为()A2 B4C2 D45已知圆锥曲线 mx24y24m 的离心率 e 为方程 2x25x20 的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为()A1 B2C3 D46.如图，过抛物线 y23x 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则|AB|()A4 B6C8 D107过椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F，若椭圆的离心率为23，则 k 的值为()A13B.13C13D128已知椭圆x24y231
3、的左、右顶点分别为 A，B，在椭圆上有一个异于点 A，B 的动点 P，若直线 PA 的斜率为 k0，则直线 PB 的斜率为()A.34k0B 34k0C34k0D32k09设 F1，F2 分别为曲线 C1：x26y221 的左、右焦点，P 是曲线C2：x23y21 与 C1 的一个交点，则 cosF1PF2 的值是()A.14B.13C.23D1310若点 O 和点 F(2,0)分别为双曲线x2a2y21(a0)的中心和左焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP的取值范围为()A32 3，)B32 3，)C.74，D.74，11如图，F1，F2 是椭圆 C1：x24y21 与双曲线
4、 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是()A.2B.3C.32D.6212已知直线 yk(x2)(k0)与抛物线 C：y28x 相交于 A，B两点，F 为 C 的焦点，若|FA|2|FB|，则 k 等于()A.13B.23C.23D.2 23答案1C2B 本题主要考查椭圆的基本概念由题意得 3m0,2m10且 2m13m，得 0m0，b0，ba12，C 的渐近线方程为 y12x，故选 C.4D 由条件知，双曲线的离心率为 e 2，所以抛物线焦点坐标为(2,0)，所以p22，所以 p4.故选 D.5C 由 2x2
5、5x20 可得 x12，x212，又圆锥曲线化为标准方程为x24y2m1，若 e2，则方程表示双曲线，且焦点在 x 轴上，有一条；若 e12，则方程表示椭圆，焦点不确定，可有 2 条故选C.6A 本题主要考查抛物线的定义分别过点 A，B 作 AA1，BB1 垂直于准线 l，垂足分别为 A1，B1，由抛物线的定义得|BF|BB1|.|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130.又|AA1|AF|3，|AC|2|AA1|6，|CF|AC|AF|633，|BF|1，|AB|4，故选 A.7C 本题主要考查椭圆的焦点、离心率等概念及斜率公式的应用由题意知点 B 的横坐标是 c，故点 B 的坐
6、标为c，b2a，则斜率 kb2acab2aca2a2c2aca21e2e1(1e)13，故选 C.8B 本题主要考查斜率公式及椭圆方程的综合运算由题设知 A(2,0)，B(2,0)设 P(x0，y0)(x02)，kPA y0 x02，kPB y0 x02.点 P 在椭圆上，x204y2031，y2031x204，kPAkPB y0 x02y0 x02 y20 x20431x204x204 34.kPAk0，kPB 34k0，故选 B.9B 本题主要考查椭圆和双曲线的定义及余弦定理的应用曲线 C1：x26y221 与曲线 C2：x23y21 的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设 P 为第一象限
7、的交点则|PF1|PF2|2 6，|PF1|PF2|2 3，解得|PF1|6 3，|PF2|6 3.又|F1F2|4，在 F1PF2 中，由 余 弦 定 理 可 求 得 cos F1PF2 6 32 6 32422 6 3 6 3 13，故选 B.10B 因为 F(2,0)，所以 c2，所以 a2c2b23，所以 a 3，设 P(x，y)，则 x 3，所以OP(x，y)，FP(x2，y)，所以OP FPx(x2)y2x22xy2x22xx23143x22x1(x 3)，因为函数 y43x22x1 在 3，)上单调递增，所以当 x 3时，ymin32 3，故OP FP的取值范围为32 3，)故选
8、 B.11D 设|AF1|m，|AF2|n，依题意有 mn4，m2n2|F1F2|212，两式联立，得 mn2，所以(nm)2m2n22mn8又 nm，所以 nm2 2，故双曲线 C2 的离心率e|F1F2|nm2 32 2 62.故选 D.12D 将 yk(x2)代入 y28x 得 k2x2(4k28)x4k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x284k2k2，x1x24，抛物线 y28x 的准线方程为 x2，由|FA|2|FB|及抛物线定义得 x122(x22)，即 x122x2，代入 x1x24，整理得 x22x220，解得 x21 或 x22(舍去)所以 x14，84k
9、2k25，解得 k289，又因为 k0，所以 k2 23.故选 D.第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填写在题中横线上)13已知直线 xy10 与抛物线 yax2 相切，则 a_.14如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 的侧面 ABB1A1 内有一动点 P 到直线 A1B1 与直线 BC 的距离相等，则动点 P 在侧面 ABB1A1内的轨迹为_15已知双曲线x24y251 上一点 P 到 F(3,0)的距离为 6，O 为坐标原点，若OQ 12(OP OF)，则|OQ|_.16设抛物线 M：y22px(p0)的焦点 F 是
10、双曲线 N：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，若 M 与 N 的公共弦 AB 恰好过点 F，则双曲线 N 的离心率 e_.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10 分)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作一条倾斜角为4的直线与抛物线相交于 A，B 两点(1)用 p 表示|AB|；(2)若OA OB 3，求这个抛物线的方程18(12 分)设点 P(x，y)(y0)为平面直角坐标系 xOy 中的一个动点(其中 O 为坐标原点)，点 P 到定点 M0，12 的距离比点 P 到 x 轴的距离大12.(1)求点 P 的轨迹方程；(
11、2)若直线 l：ykx1 与点 P 的轨迹相交于 A，B 两点，且|AB|2 6，求 k 的值答案13.1414解析：本题主要考查动点的轨迹问题依题意可知点 P 到点 B的距离等于其到直线 A1B1 的距离，根据抛物线的定义，可知动点 P的轨迹是以 B 为焦点，以 A1B1 为准线的过点 A 的抛物线的一部分中的图象为直线的图象，排除；中 B 不是抛物线的焦点，排除；中的图象没有过点 A，排除.故填.151 或 5解析：本题主要考查双曲线的定义及向量的中点表示由题意知点 F(3,0)为双曲线的右焦点设双曲线x24y251 的左焦点为 F1，由OQ12(OP OF)，知 Q 为 PF 的中点连接
12、 PF1，则|OQ|12|PF1|.由|PF1|PF|4，|PF|6，得|PF1|2 或 10，故|OQ|1 或 5.16.21解析：本题主要考查双曲线、抛物线的焦点抛物线 M：y22px(p0)的焦点为 Fp2，0，双曲线 N：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F(c,0)，p2c.又公共弦 AB 恰好过点 F，得 AB 为抛物线 M 的通径，AB2p2b2a，b22acc2a22ac，e22e10，e 21 或 e1 2(舍去)17解：(1)抛物线的焦点为 Fp2，0，过点 F 且倾斜角为4的直线方程是 yxp2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y22px，yxp2，得
13、 x23pxp24 0，x1x23p，x1x2p24，|AB|x1x2p4p.(2)由(1)知 x1x2p24，x1x23p，y1y2x1p2 x2p2 x1x2p2(x1x2)p24 p24 3p22 p24 p2，OA OB x1x2y1y2p24 p23p24 3，解得 p24，p2.这个抛物线的方程为 y24x.18解：(1)过 P 作 x 轴的垂线且垂足为 N，由题意可知|PM|PN|12，而 y0，所以|PN|y，所以x2y122y12，化简得 x22y(y0)为所求的方程(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立ykx1，x22y得 x22kx20，所以 x1x22k，x
14、1x22，|AB|1k2 x1x224x1x2 1k2 4k282 6，所以 k43k240，而 k20，所以 k21，所以 k1.19.(12 分)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线 y2x2 上，l 是 AB的垂直平分线(1)当且仅当 x1x2 取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F？证明你的结论(2)当直线 l 的斜率为 2 时，求 l 在 y 轴上的截距的取值范围20(12 分)已知抛物线 C 的顶点在原点 O，焦点与椭圆x225y291 的右焦点重合(1)求抛物线 C 的方程；(2)在抛物线 C 的对称轴上是否存在定点 M，使过点 M 的动直线与抛物线 C 相交于
15、P，Q 两点时，都有POQ2.若存在，求出 M 的坐标；若不存在，请说明理由答案19解：(1)点 F 在直线 l 上|FA|FB|A，B 两点到抛物线的准线的距离相等，抛物线的准线是x轴的平行线，上述条件等价于y1y2x21x22(x1x2)(x1x2)0，x1x2，当且仅当 x1x20 时，直线 l 经过抛物线的焦点F.(2)设 l 在 y 轴上的截距为 b，依题意，得 l 的方程为 y2xb.则过点 A，B 的直线方程可写为 y12xm，联立y2x2，y12xm，化简得 2x212xm0，x1x214.A，B 为抛物线上不同的两点，上述方程的判别式 148m0，即 m 132.设 AB 的
16、中点 N 的坐标为(x0，y0)，则 x018，y012x0m 116m.又点 N 在直线 l 上，116m14b，于是 b 516m 516 132 932，l 在 y 轴上的截距的取值范围为932，.20解：(1)椭圆x225y291 的右焦点为(4,0)，所以抛物线 C 的方程为 y216x.(2)设点 M(a,0)(a0)满足题设，当 PQ 的斜率存在时，PQ 的方程为 yk(xa)，则联立y216x，ykxak2x22(ak28)xa2k20，则 x1x22ak28k2，x1x2a2，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由POQ2得 x1x2y1y20，从而 x1x2k2(x1
17、a)(x2a)0a216a0a16，若 PQ 的方程为 xa，代入抛物线方程得 y4 a，当POQ2时，a4 a，即 a16，所以存在满足条件的点 M(16,0)21.(12 分)设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 e，若直线 l：xa2c 与两条渐近线相交于 P，Q 两点，F 为右焦点，FPQ 为等边三角形(1)求双曲线 C 的离心率 e；(2)若直线 yaxb 被双曲线 C 所截得的弦长为b2e2a，求双曲线 C的方程22(12 分)已知两定点 E(2,0)，F(2,0)，动点 P 满足PEPF0，由点 P 向 x 轴作垂线段 PQ，垂足为 Q，点 M 满足PM MQ
18、，点 M的轨迹为 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)过点 D(0，2)作直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 N 满足ON OA OB(O 为原点)，求四边形 OANB 面积的最大值，并求此时的直线 l 的方程答案21.解：(1)双曲线 C 的两条渐近线方程为 ybax，与直线 l：xa2c 的两交点为 Pa2c，abc，Qa2c，abc.设直线 l 交 x 轴于点 M(如图)PFQ 为等边三角形，则有|MF|32|PQ|.ca2c 32 abc abc，即c2a2c 3abc，解得 b 3a，c2a，eca2.(2)由(1)得双曲线 C 的方程为x2a2 y23a21.设直线 yaxb
19、 与双曲线 C 的两交点坐标为(x1，y1)和(x2，y2)把 yaxbax 3a 代入双曲线 C 的方程，得(a23)x22 3a2x6a20.则a230，12a424a2a230，a26，且 a23.又 x1x22 3a2a23，x1x2 6a2a23，直线 yaxb 被双曲线 C 所截得的弦长为b2e2a x1x22y1y22 1a2x1x22 1a2x1x224x1x21a212a424a2a23a232，化简整理得 13a477a21020.a22 或 a25113，满足 a20 得 k234，所以 x1x2 16k14k2，x1x21214k2，因为 SOAB12|OD|x1x2|x1x2|，所以 SOANB2SOAB2|x1x2|2 x1x224x1x2216k14k2 241214k22162k24814k214k2284k2314k22，令 4k23t，则 4k2t3(由上可知 t0)，SOANB8tt42818t16t81162，当且仅当 t4，即 k274时取等号；所以当 k 72，平行四边形 OANB 面积的最大值为 2，此时直线 l 的方程为 y 72 x2.
