1、高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网第第第第 21212121 讲：空间直线、平面垂直位置关系的证明方法讲：空间直线、平面垂直位置关系的证明方法讲：空间直线、平面垂直位置关系的证明方法讲：空间直线、平面垂直位置关系的证明方法【考纲要求】2、以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。理解以下判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。（简单记为线线垂直，则线面垂直）如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。（简单记为线面垂直，则面面垂直）理解以下性质定理，并能够证明。如果两个平面垂直，那么一个
2、平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。（简单记为面面垂直，则线面垂直）3、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。4、空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.【基础知识】一、空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明一般有两种方法。方法一（几何法）：线线垂直 线面垂直 面面垂直，它体现的主要是一个转化的思想。位置关系定义判定定理性质定理直线和平面垂直如果一条直线垂直于一 个 平 面 的 所
3、 有 直线，则这条直线垂直于这个平面。如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。（记为：线线垂直，则线面垂直）如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直。（记为：线面垂直，则线线垂直）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。过一点与已知平面垂直的直线只有一条。垂直于同一条高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网直线的两个平面平行。平面和平面垂直如果两个平面相交所构 成 的 二 面 角 是90，则这两个平面互相垂直。如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面
4、互相垂直。(记为：线面垂直，则面面垂直)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。（记为：面面垂直，则线面垂直）如果两个平面互相垂直，经过一个平面内的一点向另一个平面作垂线，那么这条垂线一定在第一个平面内。方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性。其中向量,a b 是直线,a b 的方向向量，且111222(,),(,)ax y zbxyz=向量,m n 是平面,的法向量，且333444(,),(,)mx y znxyz=1 200(,1 21 2z zababa bx xy ya bab+=+=i 直线直线其中分别为直线，的方向向量）,3
5、1313(1xyyzzaamxaam=直线平面其中 为直线 的方向向量,为平面 的法向量）3 400(3 43 4z zmnm nx xy ym+=+=i 平面平面其中,n 分别为平面，的法向量）【方法讲评】高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网ABCDEFH（）证明：由 PAABBC=，60ABC=，可得 ACPA=E是 PC 的中点，AEPC由（）知，AECD，且 PCCDC=，所以 AE 平面 PCD而 PD 平面 PCD，AEPDPA 底面 ABCDPD，在底面 ABCD 内的射影是 AD，ABAD，ABPD又ABAEA=，综上得 PD 平面 ABE 在AEMRtRtRtRt
6、中，14sin4AEAMEAM=【变式演练 2】如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H 为BC 的中点，()求证：FH平面 EDB;（）求证：AC平面 EDB;（）求四面体 BDEF 的体积；例 2如图，棱柱高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网111ABCA B C的侧面11BCC B 是菱形，11B CA B（）证明：平面1AB C 平面11A BC；（）设 D 是11AC 上的点，且1/A B平面1B CD，求11:A D DC 的值.解：（）因为侧面 BCC1B1是菱形，所以11BCCB
7、又已知BBCBABACB=1111,且又CB1平面 A1BC1，又CB1平面 AB1C，所以平面CAB1平面 A1BC1.（）设 BC1交 B1C 于点 E，连结 DE，则 DE 是平面 A1BC1与平面 B1CD 的交线，因为 A1B/平面 B1CD，所以 A1B/DE.又 E 是 BC1的中点，所以 D 为 A1C1的中点.即 A1D：DC1=1.【变式演练 3】如图，已知BCD 中，BCD=90，BC=CD=1，AB平面 BCD，ADB=060，E、F 分别是 AC、AD 上的动点，且.(1)求证：不论为何值，总有平面 BEFABC；(2)当为何值时，平面 BEF平面 ACD？例 3如图
8、，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=2，CE=EF=1.（）求证：AF平面 BDE；（）求证：CF平面 BDE；（）求二面角 A-BE-D 的大小。高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网证明：（I）设 AC 与 BD 交与点 G。因为 EF/AG，且 EF=1，AG=12AC=1.所以四边形 AGEF 为平行四边形.所以 AF/平面 EG，因为 EG 平面 BDE，AF 平面 BDE，所以 AF/平面 BDE.（II）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面相互垂直，且 CE AC，所以 CE 平面 ABCD.如图，以 C
9、 为原点，建立空间直角坐标系 C-xyz，则 C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0）.即(,)(2,0,0)0(,)(0,2,1)0 x y zx y z=ii所以0,x=且2,zy=令1,y=则2z=.所以(0,1,2)n=.从而3cos,2|n CFn CFn CF=i。因为二面角 ABED为锐角，所以二面角 ABED的大小为 6.【点评】（1）由于本题利用几何的方法证明 CF平面 BDE 比较困难，所以选择向量的方法。【变式演练 4】如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD,AD/BC/FE，AB AD，M 为 EC的中点，AF=AB=BC=FE=12AD(I
10、)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II)证明平面 AMD 平面 CDE；（III）求二面角 A-CD-E 的余弦值。【高考精选传真】高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网1.1.1.1.【2012201220122012 高考真题浙江理 10101010】已知矩形 ABCDABCDABCDABCD，AB=1AB=1AB=1AB=1，BC=BC=BC=BC=2。将沿矩形的对角线 BBBBDDDD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。A.A.A.A.存在某个位置，使得直线 ACACACAC 与直线 BDBDBDBD 垂直.B.B.B.B.存在某个位置，使得直线 ABABABAB
11、 与直线 CDCDCDCD 垂直.C.C.C.C.存在某个位置，使得直线 ADADADAD 与直线 BCBCBCBC 垂直.D.D.D.D.对任意位置，三对直线“ACACACAC 与 BDBDBDBD”，“ABABABAB 与 CDCDCDCD”，“ADADADAD 与 BCBCBCBC”均不垂直2222、（2012201220122012 高考真题北京理 16161616）如图 1111，在 RtRtRtRtABCABCABCABC 中，C=90C=90C=90C=90，BC=3BC=3BC=3BC=3，AC=6AC=6AC=6AC=6，DDDD，EEEE 分别是 ACACACAC，ABAB
12、ABAB 上的点，且 DEDEDEDEBCBCBCBC，DE=2DE=2DE=2DE=2，将ADEADEADEADE 沿 DEDEDEDE 折起到AAAA1111DEDEDEDE 的位置，使 AAAA1111CCCCCD,CD,CD,CD,如图 2.2.2.2.(I)(I)(I)(I)求证：AAAA1111CCCC平面 BCDEBCDEBCDEBCDE；(II)(II)(II)(II)若 MMMM 是 AAAA1111DDDD 的中点，求 CMCMCMCM 与平面 AAAA1111BEBEBEBE 所成角的大小；(III)(III)(III)(III)线段 BCBCBCBC 上是否存在点 PP
13、PP，使平面 AAAA1111DPDPDPDP 与平面 AAAA1111BEBEBEBE 垂直？说明理由（2222）如图建系 Cxyz，则()200D ，()002 3A，()030B，()220E ，()1032 3A B=，,()1210A E=，设平面1A BE 法向量为()nxyz=，则1100A B nA E n=32 3020yzxy=322zyyx=()123n=，又()103M ，()103CM=，1342cos2|143132 2 2CM nCMn+=+，CM 与平面1A BE 所成角的大小 45。zyxA1(0,0,2 3)D(-2,0,0)E(-2,2,0)B(0,3,0
14、)C(0,0,0)M高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（3333）设线段 BC 上存在点 P，设 P 点坐标为()00a，则03a，则()102 3A Pa=，()20DPa=，3333、（2012201220122012 高考真题江西理 19191919）在三棱柱 ABCABCABCABC-AAAA1111BBBB1111CCCC1111 中，已知 ABABABAB=ACACACAC=AAAAAAAA1111=5，BCBCBCBC=4=4=4=4，在 AAAA1111 在底面 ABCABCABCABC 的投影是线段 BCBCBCBC 的中点 OOOO。（1111）证明在侧棱 A
15、AAAAAAA1111上存在一点 EEEE，使得 OEOEOEOE平面 BBBBBBBB1111CCCC1111CCCC，并求出 AEAEAEAE 的长；（2222）求平面11A B C 与平面 BBBBBBBB1111CCCC1111CCCC 夹角的余弦值。高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网2211,5AOABBOAA=,得2155AOAEAA=(2)(2)(2)(2)如图所示，分别以1,OA OB OA 所在的直线即平面平面11A B C 与平面 BBBBBBBB1111CCCC1111CCCC 夹角的余弦值是3010。4.【2012 高考真题湖南理 18】（本小题满分 12
16、 分）如图 5，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E是 CD 的中点.（）证明：CD平面 PAE；（）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 P-ABCD 的体积.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网而,PA AE是平面PAE 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE.（）过点作,.BGCDAE ADF GPF/分别与相交于连接由（）CD平面 PAE 知，平面 PAE.于是BPF为直线与平面 PAE所成的角，且 BGAE.由 PAABCD 平面知，PBA为直线 PB
17、与平面 ABCD 所成的角.4,2,ABAGBGAF=由题意，知,PBABPF=因为sin,sin,PABFPBABPFPBPB=所以.PABF=由90/,/,DABABCADBCBGCD=知，又所以四边形 BCDG 是平行四边形，故3.GDBC=于是2.AG=在 RtBAG 中，4,2,ABAGBGAF=所以222168 52 5,.52 5ABBGABAGBFBG=+=于是8 5.5PABF=又梯形 ABCD 的面积为1(53)416,2S=+=所以四棱锥 PABCD的体积为118 5128 516.33515VSPA=高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网解法 2：如图（2），
18、以 A 为坐标原点，,AB AD AP 所在直线分别为 xyz轴，轴，轴 建立空间直角坐标系.设,PAh=则相关的各点坐标为：(4,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0,).ABCDEPh（）易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CDAEAPh=因为8800,0,CD AECD AP=+=所以,.CDAE CDAP而,AP AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以.CDPAE 平面()由题设和（）知，,CD AP 分别是PAE平面，ABCD平面的法向量，而 PB 与PAE平面所成的角和 PB 与ABCD平面所成的角相等，所以又梯形
19、ABCD 的面积为1(53)4162S=+=，所以四棱锥 PABCD的体积为118 5128 51633515VSPA=.【反馈训练】1给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是()A和B和C和D和2已知、是平面，m、n 是直线，给出下列命题：若 m，m，则.若 m，n，m，n，则.如果 m，n，m、n 是异面直线，那么 n 与相交高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考
20、资源网若m，nm，且 n，n，则 n且 n.其中正确命题的个数是()A1B2C3D43设，是空间两个不同的平面，m，n 是平面及外的两条不同直线从“mn；n；m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_(用代号表示)4如图，PAO 所在的平面，AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，E，F 分别是点 A 在 PB，PC 上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面 PBC.其中正确命题的序号是_5.如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABAD，BAD60，E，F 分别是AP，AD 的中点求证：(1)直线 EF平面 PCD；(2
21、)平面 BEF平面 PAD.6.在四棱锥 PABCD 中，侧面 PCD底面 ABCD，PDCD，E 为 PC 中点，底面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ADC90，ABADPD1，CD2()求证：BE平面 PAD；()求证：BC平面 PBD；()设 Q 为侧棱 PC 上一点，PC，试确定的值，使得二面角 QBDP 为 457在如图所示的几何体中，EA 平面 ABC，DB 平面ABC，ACBC，2ACBCBDAE=，M 是 AB 的中点。（）求证：CMEM；（）求 CM 与平面 CDE 所成的角；EMACBD高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网【变式演练 2 详细解析】解：(1),
22、1/,21/,2/ACBDGGACEG GHHBCGHABEFABEFGHEGFHEGEDBFHEDB证：设与交于点，则 为的中点，连，由于 为的中点，故又四边形为平行四边形，而平面，平面【变式演练 3 详细解析】证明：(1)因为 AB平面 BCD，所以 ABCD.因为 CDBC，且，所以 CD平面 ABC.又因为，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网所以不论为何值，恒有 EFCD，所以 EF平面 ABC，又 EF平面 BEF，所以不论为何值恒有平面 BEF平面 ABC.(2)由(1)知，BEEF.又平面 BEF平面 ACD，所以 BE平面 ACD，所以 BEAC.因为 BC=CD
23、=1，BCD=90，ADB=60，所以，所以.由，得，所以.故当时，平面 BEF平面 ACD.（II）证明：因为.CEMPMP.CEDMCEM=，则连结的中点，所以为且DEDC.CDEAMDCDECE.AMDCEMDMMP平面，所以平面平面而平面，故又=（III）因为，所以因为，的中点，连结为解：设.CDEQDECE.EQPQCDQ=.ECDAEQPCDPQPDPC的平面角为二面角，故，所以=由（I）可得，.2226EQaPQaPQEP=，中，于是在33cosEPQRt=EQPQEQP方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网点 A 为 坐 标 原
24、点。设，1=AB依 题 意 得()，001B()，011C()，020D()，110E()，100F.21121M，.AMDCEAADAM.ADCEAMCE.0ADCE平面，故又，因此，=.CDEAMDCDECE平面，所以平面平面而（III）=.0D0)(CDEEuCEuzyxu，则，的法向量为解：设平面.111(1.00），可得令，于是=+=+uxzyzx又由题设，平面 ACD 的一个法向量为).100(，=v.3313100cos=+=vuvuvu，所以，【反馈训练详细解析】1.D【解析】：不是相交直线，错；位置关系不确定；正确2.B【解析】：选 B.对于，由定理“如果一个平面经过另一个平
25、面的一条垂线，那么这两个平面垂直”得知，正确；对于，注意到直线 m，n 可能是两条平行直线，此时平面，可能是相交平面，因此不正确；对于，满足条件的直线 n 可能平行于平面，因此不正确；对于，由定理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于这个平面”得知，正确综上所述，其中正确的命题是，选 B.3.(或)【解析】：将作为条件，可结合长方体进行证明，即从长方体的一个顶点出发的两条棱与其对面垂直，这两个对面互相垂直，故；对于，可仿照前面的例子进行说明答案：(或)4.【解析】：PAO 所在的平面，AB 是O 的直径，CBAC，CBPA，CB平面PAC.又 AF平面 PAC，CBAF.
26、又E，F 分别是点 A 在 PB，PC 上的射影，AFPC，AEPB，AF平面 PCB，AFPB，故正确PBAE，PB平面 AEF，故正确高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网而 AF平面 PCB，AE 不可能垂直于平面 PBC.故错5.【解析】证明：(1)在PAD 中，因为 E，F 分别为 AP，AD 的中点，所以 EFPD.又因为 EF平面 PCD，PD平面 PCD.所以直线 EF平面 PCD.(2)连接 BD.因为 ABAD，BAD60，所以ABD 为正三角形因为 F 是 AD 的中点，所以BFAD.因为平面 PAD平面 ABCD，BF平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD
27、AD，所以 BF平面 PAD.又因为 BF平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD.6.【解析】：()取 PD 的中点 F，连结 EF，AF，因为 E 为 PC 中点，所以 EFCD，且 EFCD1，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB1，所以 EFAB，EFAB，四边形 ABEF 为平行四边形，所以 BEAF，又 BE平面 PAD，AF平面 PAD，所以 BE平面 PAD()平面 PCD底面 ABCD，PDCD，所以 PD平面 ABCD，所以 PDAD如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz，则 A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)(1，1，0)，
28、(1，1，0)，所以0，BCDB，又由 PD平面 ABCD，可得 PDBC，所以 BC平面 PBD()平面 PBD 的法向量为(1，1，0)，(0，2，-1)，(0，1)所以 Q(0，2，1)，设平面 QBD 的法向量为 n(a，b，c)，(1，1，0)，(0，2，1)，由 n0，n0，得，所以，所以，7.【解析】方法一：（I）证明：因为 ACBC=，M 是 AB 的中点，所以CMAB又 EA 平面 ABC，所以CMEM高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（II）解：过点 M 作 MH 平面CDE，垂足是 H，连结CH 交延长交 ED 于点 F，连结 MF，MD FCM是直线CM
29、和平面CDE 所成的角因为 MH 平面CDE，所以 MHED，又因为CM 平面 EDM，所以CMED，则 ED 平面CMF，因此 EDMF设 EAa=，2BDBCACa=，在直角梯形 ABDE 中，2 2ABa=，M 是 AB 的中点，所以3DEa=，3EMa=，6MDa=，得EMD是直角三角形，其中90EMD=，所以2EM MDMFaDE=i在 RtCMF中，tan1MFFCMMC=，所以45FCM=，故CM 与平面CDE 所成的角是 45 方法二：所以0EM CM=i，故 EMCM（II）解：设向量001yz()，n=n=n=n=与平面CDE 垂直，则CEnnnn，CDnnnn，即0CE=innnn，0CD=innnn因为(2 0)CEaa=，(0 2 2)CDa a=，所以02y=，02x=，EDCMABEHEDCMAByzx高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网即(1 22)=，nnnn，2cos2CMCMCM=ii，nnnnnnnnnnnn，
