1、河南省开封市五县联考2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）一、选择题1. 已知复数，则（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】由复数的除法运算整理已知复数，再由共轭复数概念表示，最后由复数的几何意义求复数的模长即可.【详解】因为，则，所以.故选：A【点睛】本题考查复数的四则运算，还考查了共轭复数的表示与求复数的模长，属于基础题.2. 把空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内；直线与平面相交；直线不在平面内；直线与平面平行，依次填入结构图中的，中，则正确的填写顺序是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据空间直线与平面的位置关系求
2、解.【详解】因为空间中直线与平面的位置关系包括“直线在平面内”和“直线不在平面内”两种，其次，直线不在平面内又包括“相交”和“平行”两种，故选：C【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3. 已知两个变量，线性相关，且根据观测到的数据计算样本平均数得，则根据这组观测数据算得的线性回归方程不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由线性回归方程的性质可得线性回归直线必过点，将点逐个代入选项中，即可得解.【详解】将点分别代入到各式中：对于A选项，故A可能是该线性回归方程；对于B选项，故B可能是该线性回归方程；对于C选项，故C可能是该线性回
3、归方程；对于D选项，故D不可能是该线性回归方程.故选：D.【点睛】本题考查了线性回归方程样本中心点的应用，属于基础题.4. 以下成语的语境为合情推理的是（ ）A. 坐井观天B. 管中窥豹C. 开门见山D. 一叶障目【答案】B【解析】【分析】由成语的意思结合合情推理的定义判定即可.【详解】A为眼光狭小，看到的有限；C意为说话写文章直截了当；D意为被局部或暂时的现象所迷惑，不认清事物的全貌或问题的本质；所以A，C，D都没有推理过程；B意为只见到事物的一部分，从观察到的部分可以推测全貌，为从部分到全部的推理过程，属于归纳推理.故选：B【点睛】本题考查合情推理的判定，属于基础题.5. 若复数为纯虚数，
4、其中，则复数的模为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由纯虚数的定义可求得复数z，再由复数的除法运算可求得复数，最后由复数模长的计算公式求得答案.【详解】因为为纯虚数，所以，则，所以故选：A【点睛】本题考查复数中纯虚数的定义，还考查了复数的运算与几何意义中的求模长，属于基础题.6. 下列证明中更适合用反证法的是（ ）A. 证明B. 证明是无理数C. 证明D. 已知，证明【答案】B【解析】【分析】对选项进行分析，选项A可用数学归纳法或者裂项相消法证明，选项B适合于反证法，选项C可用二倍角余弦公式证明，选项D可先计算的值，代入计算可得证明，综合可得答案.【详解】解：选项A，可得
5、，适合直接证明；选项B并不适合直接证明，适合反证法；选项C，可得，适合直接证明；选项D，可得，将右边式子化简可得证明，也适合直接证明；所以选项B的证明更适合用反证法，故选B.【点睛】本题主要考查直接证明和反证法的相关知识，及数列，三角函数的相关知识，需知道反证法适用的场所.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的，的值分别为（ ）A. 3，5B. 4，7C. 5，9D. 6，11【答案】C【解析】执行第一次循环后，执行第二次循环后，执行第三次循环后，执行第四次循环后，此时，不再执行循环体，故选C.点睛：对于比较复杂的流程图，可以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可.8. 大学
6、生小徐、小杨、小蔡通过招聘会被教育局录取并分配到一中、二中、三中去任教,这三所学校每所学校分配一名老师,具体谁被分配到哪所学校还不清楚.他们三人任教的学科是语文、数学、英语,且每个学科一名老师,现知道:(1)小徐没有被分配到一中;(2)小杨没有被分配到二中;(3)教英语的没有被分配到三中;(4)教语文的被分配到一中;(5)教语文的不是小杨.据此判断到三中任教的人和所任教的学科分别是( )A. 小徐 语文B. 小蔡 数学C. 小杨 数学D. 小蔡 语文【答案】C【解析】【详解】分析：逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突
7、破点，从而使问题得以解决.详解：小徐没有被分配到一中,教语文的被分配到一中，小杨不任教语文，所以只有小蔡被分配到一中任教语文，小杨没有被分配到二中，也没有被分配到一中，所以只能被分配到三中，且任教数学，故选C.点睛：本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.9. 观察下列各式：，则下列各数的末四位数字为8125的是（ ）A. B. C. D. 【答案】
8、D【解析】【分析】由合情推理可知其值的末四位数成周期性变化，其8125对应为第3个，由周期性计算对应指数值即可.【详解】经观察易知的末四位数字为3125，的末四位数字为5625，的末四位数字为8125，的末四位数字为0625，的末四位数字为3125，故周期由于，因此的末四位数字是8125，故选：D【点睛】本题考查合情推理的应用，属于基础题.10. 已知表中数据y与x有较好的线性关系，通过计算得到y关于x的线性回归方程为，则相应于下列各点的残差中绝对值最小的是（ ）x246810y4691012.5A. （2，4）B. （4，6）C. （8，10）D. （10，12.5）【答案】D【解析】【分析
9、】由题中数据求出，的值代数中，可得的值，可得线性回归方程，后分别计算残差，可得答案.【详解】解：，相应于点的残差分别为，故选D.【点睛】本题主要考查线性回归方程及残差的定义与性质，由题意得出线性回归方程是解题的关键.11. 设为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆短轴上的一个顶点，当时，该椭圆的离心率为，将此结论类比到双曲线，得到的正确结论为（）A. 设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为2B. 设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为4C. 设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的
10、一个顶点，当时，该双曲线的离心率为2D. 设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为4【答案】C【解析】【分析】先排除A,B,再根据求出双曲线的离心率得解.【详解】对于双曲线而言，排除A，B.由，得，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和双曲线离心率的计算，考查类比推理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12. 复数满足，则的最小值为（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先设()，由，得()，由复数模的运算可得，得解.【详解】解：设()，则由，得，整理得()所以，当且仅当时取等号，即的最小值为，故
11、选：B.【点睛】本题考查了点的轨迹方程的求法，重点考查了复数模的运算，属中档题.二、填空题：13. 已知，则复数在复平面内表示的点在第_象限.【答案】二【解析】【分析】根据复数的代数形式的四则运算法则求出，再根据复数的几何意义可得结果.【详解】因为，所以，所以复数表示的点落在第二象限.故答案为：二【点睛】本题考查了复数的代数形式的四则运算，考查了复数的几何意义，属于基础题.14. 下表是不完整的列联表，其中，则_.总计55总计120【答案】15【解析】【分析】根据列联表，列方程组解得即可.【详解】由题意得,又，所以，解得.故答案为：15【点睛】本题考查了列联表完善，属于基础题.15. 若，则称
12、与互为“邻位复数”已知复数与互为“邻位复数”， ，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】由已知新定理与复数模长计算公式可知，其表示的是点在圆上，所求表达式表示点到原点的距离的平方，将其转化为原点与圆的距离的最值问题解决即可.【详解】因为复数与互为“邻位复数”，所以，故，其表示的是点在圆上，而表示点到原点的距离，故的最大值为原点到圆心的距离加半径，即故答案为：【点睛】本题考查复数的新定义问题，还考查与圆有关的距离的最值问题，属于简单题.16. 设函数，观察，根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，_.【答案】【解析】【分析】对四个分母中的系数和常数进行归纳，找出规律可得答案.【详解】观察知：四个等
13、式等号右边的分母为，即，所以归纳出的分母为，故当且时，.故答案为：【点睛】本题考查了归纳推理，解题关键是根据前几项的分母找规律，属于基础题.三、解答题17. 已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）（1）求曲线，的普通方程并指出它们的形状；（2）若点在曲线上，点在曲线上，求线段长度的最小值【答案】（1）的普通方程为，曲线为一条直线；曲线的为普通方程为，是一个焦点在轴上的椭圆（2）【解析】【分析】（1）由极坐标与直角坐标的关系转化曲线即可，由同角三角函数关系中和的关系将曲线的方程消参得普通方程即可；（2）利用点到线的距离公式结合辅助角公式求最值即可【详解】（1）将曲线的极坐标方程化为普
14、通方程，所以曲线为一条直线；曲线的参数方程化为普通方程，所以曲线是一个焦点在轴上的椭圆（2）曲线上的点坐标为，则求线段的最小值为点到直线的距离，所以，即的最小值为【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程与普通方程的互化，还考查了利用参数方程求直线与曲线距离的最值，属于简单题.18. 已知关于的不等式（1）若，解上述不等式；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值整理式子，再分类解不等式，最后取其并集即可；（2）由（1）作出图象可知的最小值，即可解决不等式恒成立求参问题.【详解】（1）由，当时，或或，解得或或，所以（2）由（1）作出的图象可知，所
15、以，故【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，还考查了由不等式恒成立求参数取值范围，属于简单题.19. 某校计划面向高二年级文科学生开设社会科学类和自然退坡在校本选修课程，某文科班有50名学生，对该班选课情况进行统计可知：女生占班级人数的60，选社会科学类的人数占班级人数的70，男生有10人选自然科学类（1）根据题意完成以下列联表：选择自然科学类选择社会科学类合计男生女生（2）判断是否有99的把握认为科类的选择与性别有关？附：，其中【答案】（1）列联表见解析（2）没有99的把握认为科类的选择与性别有关【解析】【分析】（1）由已知比例关系求得女生和男生总人数，再求得社会科学类人数，即可知自然学科
16、类人数，即可列出列联表；（2）由独立性检验中观测值的计算公式计算值，与表中数据对比即可判定.【详解】解：（1）根据题意可知，女生人数为，男生人数为20，选社会科学类人数为，选自然科学类人数为15，且其中男生占10人，则列联表如下：选择自然科学类选择社会科学类合计男生101020女生52530合计153550（2）由（1）中数据，的观测值，所以没有99的把握认为科类的选择与性别有关【点睛】本题考查由已知关系完善列联表，还考查了由独立性检验的实际应用，属于基础题.20. 西瓜是夏日消暑的好水果，西瓜的销售价格（单位：千元/吨）与西瓜的年产量（单位：吨）有关，下表数据为某地区连续6年来西瓜的年产量及
17、对应的西瓜销售价格123456（1）若与有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，用最小二乘法求出与的线性回归直线方程（系数精确到）；（2）若每吨西瓜的成本为4810元，假设所有西瓜可以全部卖出，预测当年产量为多少吨 时年利润最大？参考公式及数据：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，其中，【答案】（1）；（2）当年产量为4吨时，年利润最大.【解析】【分析】（1）代入公式计算出，即可得解；（2）设年利润为千元，由题意可得，利用二次函数的性质即可得解.【详解】（1）设与的回归直线方程为，所以；（2）设年利润为千元，则，当时，取最大值，所以当年产量为4吨时，年利润最大【点睛】本
18、题考查了线性回归方程的求解与应用，考查了运算求解能力，属于中档题.21. 在平面直角坐标系中，已知点，是圆上一个动点，的平分线交于点以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）若射线与圆和曲线分别交于，两点（其中异于原点），求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，设点，利用，化简即可得到点的轨迹的极坐标方程；（2）根据题意，设，代入曲线的极坐标方程可得，再利用即可.【详解】（1）设，如图，可知，即，化简得点的轨迹的极坐标方程（2）由已知设，所以，所以【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，曲线的极坐标方程，三角形面积公式，属于基础题.22. 已知（1
19、）求直线与函数的图象所围图形的面积；（2）若对一切实数成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此画出直线与函数的图象.根据等腰梯形面积公式求得所围图形的面积.（2）先求得的最小值，由此得到，由零点分段法进行分类讨论，由此求得的取值范围.【详解】（1）因为，如图所示：直线与函数的图象所围图形是一个等腰梯形，令，得；令，得，所以等腰梯形的面积（2）要使对一切实数成立，只须，而，所以，故由，得；由，得；由，得，故【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.23. 已
20、知若椭圆：（）交轴于，两点，点是椭圆上异于，的任意一点，直线，分别交轴于点，则为定值.（1）若将双曲线与椭圆类比，试写出类比得到的命题；（2）判定（1）类比得到命题的真假，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）命题为真命题，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据类比推理的基本原则可直接写出结果；（2）设，表示出直线方程后可求得点坐标，由此得到，同理得到，根据平面向量的数量积运算可构造方程，结合点在双曲线上可化简得到结果.【详解】（1）类比得命题：若双曲线：交轴于两点，点是双曲线上异于的任意一点，直线分别交轴于点，则为定值.（2）在（1）中类比得到的命题为真命题，证明如下：不妨设，则，直线方程
21、.令，则，点坐标.又，.同法可求得：.又，.【点睛】本题考查类比推理的应用、双曲线中定值问题的证明；关键是能够熟练应用直线与双曲线的相关知识，表示出所需的平面向量，根据平面向量数量积的坐标运算可化简得到结果.24. 证明下列问题（1）已知，证明：；（2）在中，内角，所对的边分别为，若，证明：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分析法，结合对数运算，证得不等式成立.（2）利用反证法，结合综合法推出矛盾，由此证得【详解】（1）由及，可知，要证，只需证，只需证，即证，只需证，只需证，而这是已知条件，以上各步均可逆推，所以原不等式得证（2）假设，则，那么，于，即，与已知矛盾，故假设不成立所以当时，【点睛】本小题主要考查利用分析法、综合法和反证法进行证明，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
