1、课时跟踪检测(三) 等差数列的概念及通项公式1已知等差数列an的通项公式为an32n，则它的公差为()A2 B3 C2 D3解析：选Can32n1(n1)(2)，d2，故选C.2等差数列an中，a1，a2a54，an33，则n等于()A50 B49 C48 D47解析：选A由题得2a15d4，将a1代入得，d，则an(n1)令an33，得n50，故选A.3已知在等差数列an中，a2a9a12a14a20a78，则a9a3()A8 B6 C4 D3解析：选D由题意，设等差数列an的公差为d，则a2a9a12a14a20a72a120d2(a110d)8，即a110d4，所以a9a3a18d(a1
2、2d)(a110d)3，故选D.4下列说法中正确的是()A若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列D若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列解析：选C对于A,1,2,3成等差数列，但1,4,9不成等差数列，故A错误；对于B,1,2,3成等差数列，但log21，log22，log23为0,1，log23，不成等差数列，故B错误；对于D,1,2,3成等差数列，但2,22,23不成等差数列，故D错误；C显然正确，故选C.5一个首项为23，公差为整数的等
3、差数列，如果前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差是()A2 B3 C4 D5解析：选C设等差数列an的公差为d，a6235d，a7236d，数列前6项均为正数，从第7项起为负数，235d0,236d0，d.又数列是公差为整数的等差数列，d4，故选C.6给出下列各组等差数列的通项公式：1,4,7，an3n2；21,17,13，an4n17；1，ann；1,2，32，an(1)n.其中正确的序号是_解析：由da2a1求得公差，结合a1即可写出通项公式，验证知正确中an254n，中ann.答案：7已知数列an满足an1an12an(n2)，且a25，a513，则a8_.解析：由an1an12an
4、(n2)知，数列an是等差数列，a2，a5，a8成等差数列a2a82a5，a82a5a2213521.答案：218已知b是a，c的等差中项，且abc，若lg(a1)，lg(b1)，lg(c1)成等差数列，abc15，则a的值为_解析：由题意，知解得答案：79已知数列an的通项公式anpn2qnr(p，q，rR，且p，q，r为常数)(1)当p，q，r满足什么条件时，数列an是等差数列？(2)设bnan1an，求证数列bn是等差数列解：(1)欲使an是等差数列，则an1anp(n1)2q(n1)r(pn2qnr)2pnpq应是一个与n无关的常数，所以只有2p0，即p0时，数列an是等差数列此时q，
5、rR.(2)证明：因为bnan1an2pnpq，所以bn1bn2p(n1)pq2pnpq2p为常数，所以bn是等差数列10已知等差数列an：3,7,11,15，.(1)求an的通项公式(2)135,4m19(mN*)是数列an中的项吗？请说明理由(3)若am，at(m，tN*)是数列an中的项，那么2am3at是数列an中的项吗？请说明理由解：(1)设数列an的公差为d.依题意，有a13，d734，an34(n1)4n1.(2)令4n1135，得n34，135是数列an的第34项4m194(m5)1，且mN*，4m19是数列an的第m5项(3)am，at是数列an中的项，am4m1，at4t1
6、，2am3at2(4m1)3(4t1)4(2m3t1)1.2m3t1N*，2am3at是数列an的第2m3t1项1已知数列中，a32，a71，若为等差数列，则a19()A0 B C. D2解析：选A因为a32，a71，故，所以161，故a190.故选A.2已知数列an是等差数列，a415，a727，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为()A4 BC4 D解析：选A由数列an是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点(n，an)，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率即过点(4,15)，(7,27)的直线斜率，所以所求直线的斜率k4.3我国古代
7、数学名著中载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数从小到大组成数列an，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列bn，把数列an与bn的公共项从小到大排列得到数列cn，则下列说法正确的是( )Aa1b2c2 Bb8a2c4Cb22c8 Da6b2c9解析：选C根据题意，数列an是首项为2，公差为3的等差数列，an23(n1)3n1；数列bn是首项为2，公差为5的等差数列，bn25(n1)5n3.故数列cn是首项为2，公差为15的等差数列，cn215(n1)15n13.对于A，a1b222539，c21521
8、317，a1b2c2，错误；对于B，b8a258332132，c41541347，b8a2c4，错误；对于C，b225223107，c815813107，b22c8，正确；对于D，a6b2(361)(523)119，c915913122，a6b2c9，错误故选C.4(2021全国甲卷)已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列an是等差数列；数列 是等差数列；a23a1.解：方案一：选，即已知an及 是等差数列，求证：a23a1.证明：设等差数列an的首项为a1，公差为d，则.由为等差数列，知2，即 2，即a13a13d28a14d，即2
9、4a1d.所以12a12a1d16a8a1dd2，所以4a4a1dd20，即2a1d0.所以d2a1.所以a2a1da12a13a1.方案二：选，即已知an是等差数列且a23a1，求证：是等差数列证明：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a23a1a1d，得d2a1.所以Snna1dna12a1n2a1.所以n，所以 .当n2时，n(n1)，为常数所以数列 是首项为，公差为的等差数列方案三：选，即已知数列 是等差数列，且a23a1，求证：数列an是等差数列证明：设等差数列 的公差为d，则d，即d，则d.所以(n1)d(n1)n，所以Snn2a1.当n2时，anSnSn1n2a1(n1)2a
10、1(2n1)a1，所以anan1(2n1)a12(n1)1a12a1.所以数列an是以a1为首项，2a1为公差的等差数列5已知无穷等差数列an中，首项a13，公差d5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列bn(1)求b1和b2.(2)求bn的通项公式(3)bn中的第503项是an中的第几项？解：(1)a13，d5，an85n.数列an中序号被4除余3的项是an中的第3项，第7项，第11项，b1a37，b2a727.(2)设an中的第m项是bn中的第n项，即bnam，则m34(n1)4n1，bnama4n185(4n1)1320n，即bn的通项公式为bn1320n.(3)设所求为an的第m项，则m503412 011，即bn中的第503项是an中的第2 011项
