1、专项强化练(六)解三角形 A 组题型分类练 题型一 正弦定理和余弦定理 1在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a4，b5，c6，则sin 2Asin C _ 解析：由正弦定理得sin Asin Cac，由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc，a4，b5，c6，sin 2Asin C 2sin Acos Asin C2sin Asin Ccos A 246526242256 1.答案：1 2在锐角ABC 中，AB3，AC4.若ABC 的面积为 3 3，则 BC 的长是_ 解析：因为 SABC12ABACsin A，所以 3 31234sin A，所以 sin A 32，
2、因为ABC 是锐角三角形，所以 A60，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos A，解得 BC 13.答案：13 3已知在ABC 中，A120，AB 2，角 B 的平分线 BD 3，则 BC_ 解析：在ABD 中，由正弦定理得ABsinADB BDsin A，sinADBABsin ABD 22，ADB45，ABD15，ABC30，ACB30，ACAB 2.在ABC 中，由余弦定理得 BC AB2AC22ABACcos A 6.答案：6 4在斜三角形 ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，若1tan A1tan B1tan C，则abc2的最大值为_ 解析：由1ta
3、n A1tan B1tan C可得，cos Asin Acos Bsin Bcos Csin C，即sin Bcos Acos Bsin Asin Asin Bcos Csin C，sin（BA）sin Asin B cos Csin C，即sin Csin Asin Bcos Csin C，sin2Csin Asin Bcos C.根据正弦定理及余弦定理可得，c2aba2b2c22ab，整理得 a2b23c2.abc2 aba2b23 3aba2b23ab2ab32，当且仅当 ab 时等号成立 答案：32 临门一脚 1正弦定理的应用：(1)已知两角和任意一边，求其它两边和一角；(2)已知两边
4、和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角 2利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 3要注意运用 abABsin Asin B 对所求角的限制，控制解的个数 4对边、角混合的问题的处理办法一般是实施边、角统一，而正弦定理、余弦定理在实施边和角相互转化时有重要作用，如果边是一次式，一般用正弦定理转化，如果边是二次式，一般用余弦定理 5对“锐角三角形”的概念要充分应用，必须三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，防止角范围的扩大 题型二 解三角形的实际应用 1.如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在
5、 A 的同侧，选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105，则 A，B 两点的距离为_m.解析：B180ACBCAB30，由正弦定理得，ABACsinACBsin B50 221250 2(m)答案：50 2 2如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m，50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角CAD 的大小是_ 解析：AD26022024 000，AC26023024 500.在CAD 中，由余弦定理得 cosCADAD2AC2CD22ADAC 22，CAD45.答案：45 3.如图，某住宅小区的平面
6、图呈圆心角为 120的扇形 AOB，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O沿 OD 走到 D 用了 2 分钟，从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径为_米 解析：依题意得 OD100 米，CD150 米，连接 OC，易知ODC180AOB60，因 此 由 余 弦 定 理 有 OC2 OD2 CD2 2ODCDcos ODC，即 OC2 1002 1502 21001501217 500，OC50 7(米)答案：50 7 临门一脚 1理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等 2
7、测量问题和追击问题关键是构建三角形，利用正余弦定理研究 3几何图形中长度和面积的最值问题的研究关键是选好参数(边、角或者建立坐标系)，构建函数来研究，不要忽视定义域的研究 B 组高考提速练 1在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a 3，b1，c2，则 A 等于_ 解析：cos Ab2c2a22bc14321212，又0A180，A60.答案：60 2在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a18，b24，A45，则此三角形有_个 解析：asin Absin B，sin Bbasin A2418sin 45，sin B2 23.又aa，所以 BA，所以
8、 A6.答案：6 7已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，其中 ccosBACacosACB6，b2c2a2 72 bc，O 为ABC 内一点，且满足 OA OB OC0，BAO30，则|OA|_ 解析：因为 b2c2a272 bc，所以 cosBACb2c2a22bc74，所以 sinBAC1cos2BAC34.又 OA OB OC0，所以 O 为ABC 的重心 因为 ccosBACacosACB6，所以 b6.取 BC 的中点 D，连接 OD，由BAO30，得BAD30，所以 SBAD12BAADsinBAD1212BAACsinBAC，所以 AD12ACsinB
9、ACsinBAD126341292，所以|OA|23AD3.答案：3 8.如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67，30，此时气球的高度是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，31.73)解析：过 A 作 BC 边上的高 AD，D 为垂足在 RtACD 中，AC92，在ABC 中，由正弦定理，得 BCACsinABCsinBAC92sin 67sin 37 920.920.6060(m)答案：60 9在ABC 中，已知 AB 3，C3
10、，则 CA CB的最大值为_ 解析：因为 AB 3，C3，设角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，所以由余弦定理得 3a2b22abcos3 a2b2abab，当且仅当 ab 3时等号成立，又 CA CB abcos C12ab，所以当 ab 3时，(CA CB)max32.答案：32 10在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为 S，且 2S(ab)2c2，则 tan C_.解析：因为 2S(ab)2c2a2b2c22ab，由面积公式与余弦定理，得 absin C 2abcos C 2ab，即sin C 2cos C 2，所 以(sin C 2cos C
11、)2 4，sin2C4sin Ccos C4cos2Csin2Ccos2C4，所以tan2C4tan C4tan2C14，解得 tan C43或 tan C0(舍去)答案：43 11(2019如东中学模拟)在ABC 中，A23，AB 3，D 是 BC 上靠近点 C 的三等分点，且 AD1，则 AC_.解析：法一：设 BD2x，DCx，ACy，x0，y0，在ABD 和ADC 中由余弦定理得，x21y22x4x2134x0，化简得 y23x2.在ABC 中，由余弦定理知 9x23y2 3y，联立方程得 y23x2，9x23y2 3y，所以 x1，y 3，故 AC 3.法二：由题意知 AD13 AB
12、23 AC，两边平方得 AD219AB249AC2229ABAC12，得 2AC2 3AC30，得 AC 3.法三：以点 A 为坐标原点，AC 所在的直线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系，设 C(b,0)，b0，则 B 32，32，易知 BD2 DC，则 D2b3 36，12，由 AD1 得2b3 362141，得 b 3，故 AC 3.答案：3 12在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2，bc1，ABC 的面积为 3，则 AB AC_.解析：以 BC 为 x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为 a2，所以 B(1,0)，C(1,0)，设 A(x，y)，又ACAB10，又 B 为锐角，所以 2tan2C10，所以 tan Atan Btan Btan Ctan Ctan A3tan Ctan B 2tan2C 9tan2C2tan2C1 2tan2C 112922tan2C1 (2tan2C 1)1122922tan2C12C116 22，当且仅当 tan2C3 224时等号成立 答案：116 22
