1、4.3 对数4.3.2 对数的运算 情境导入 在引入对数后，自然应研究对数的运算性质.你认为可以怎样研究？我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？(1)=+(0,);(2)()=(0,);(3)()=(0,0,).指数幂运算 新知探索 设=,=+,=+.根据对数与指数间的关系可得：=,=,()=+=+.这样，就得到了对数的一个运算性质：()=+.新知探索 活动1：同样地，同学们可以仿照上述过程，由 =,自己推出对数运算的其他性质.设=,=,=.根据对数与指数间的关系可得：=,=,=.因此得到对数运算性质：=.新知探索 活动2：同样地，同学们可以仿照上述过程
2、，由()=,自己推出对数运算的其他性质.设=,=()=,=.根据对数与指数间的关系可得：=.因此得到对数运算性质：=().新知探索 于是，我们得到如下的对数运算性质.如果 ，且 ，那么 ()=+;=;=().新知探索 辨析1：判断正误.(1)22=22.(2)(2)(3)=(2)+(3).(3)()=.(4)(5)2=2(5).答案：，.辨析2：计算84+82等于_.解：84+82=8(4 2)=1.例析 例3.求下列各式的值：(1)1005;(2)2(47 25).解：(1)1005=10015=15 100=25.(2)2(47 25)=247+225 =724+522 =7 2+5 1
3、=19.()=+;=;=().例析 例4.用,表示2 3.解：2 3=(2)3 =2+3 =2+12 13.()=+;=;=().新知探索 数学史上，人们经过大量努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就可以求出任意正数的常用对数或自然对数.现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或为底的对数，就能方便地求出这些对数.活动3：(1)利用计算工具求2,3的近似值；(2)根据对数的定义，你能利用2,3的值求23的值吗？(3)根据对数的定义，你能用,表示(0,且 1;0;0,且 1)吗？新知探索 设=，则=，于是=.根据性质得=，
4、即 =(,且 ;,且 ).我们把上式叫做对数换底公式.在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算=1.112的值.由换底公式，可得=1.112=21.11.利用计算工具，可得，=21.11 6.64 7.由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到了2001年的2倍.类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，所需要的年数.新知探索 辨析3：判断正误.(1)由换底公式可得=(2)(2).(2)2+3=6().(3)23 32=1.答案：，.辨析4：23 34 42等于_.解：原式=23 2423.2224=1.例析 例5.尽管目前人类还无法准确
5、预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为=4.8+1.5.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为1和2.由=4.8+1.5，可得 1=4.8+1.5 9.0，2=4.8+1.5 8.0.于是，12=1 2=(4.8+1.5 9.0)(4.8+1.5 8.0)=1.5.利用计算工具可得，12=101.5 32.虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放
6、出来的能量却 是后者的约32倍.新知探索 补充：(1)对数运算性质的推广：(1 2 3 )=1+2+3+(0,且 1,0,=1,2,，).(2)由换底公式得到的常用结论：=1;=;=;1=.练习 题型一：对数运算性质的应用 例1.(1)若2=,3=,则 1215 等于（）.A.2+1+B.2+1+C.+21+D.+21+解：1215=(34)(35)=3+223+5=3+223+12=2+1+.故选A.()=+;=;=().练习 例1.(2)(5)2+22 (2)2；3+259+35 27 38127；535 2573+57 51.8.解：原式=(5)2+(2 2)2=(5)2+(1+5)2
7、=(5)2+2 5+2=(5+2)5+2 =lg5+lg2=1.原式=3+453+91031234333=(1+45+91012)3(43)3=115.原式=5(5 7)2(57 53)+57 595 =55+57 257+253+57 253+55 =2 55=2.练习 变1.(1)（2020年全国卷1）设34=2，则4=().A.116 B.19 C.18 D.16 解：因为34=2，所以34=2，则有4=9.所以4=14=19.故选B.变1.(2)计算下列各式：56253；2(32 42).解：原式=13 5625=13 554=43.原式=232+242=5+4=9.练习 题型二：换底
8、公式 例2.(1)计算(2125+425+85)(52+254+1258)的值.解：(1)原式=(253+22524+2528)(52+54525+585125)=(325+225222+25322)(52+252255+352355)=(3+1+13)25 (352)=1325 2225=13.练习 例2.(2)已知189=，18=5，用，表示3645的值.解：(2)189=，18=5 185=.于是3645=18(95)18(182)=189+1851818+182 =189+1851+182=+1+18 189=+2 .练习 变式2.(1)若 3=2，则的值为_.解：(1)由已知可得 3
9、=2，即3=2，3=2，即2=3，=3.变式2.(2)计算(43+83)(32+92).解：(2)原式=(34+38)(23+29)=(322+332)(23+223)=5362 3223=54.练习 对数式化简与求值的基本原则和方法：基本原则：正用或逆用公式，对真数进行处理，一般本着便于真数化简的原则进行 常用方法：(1)“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数;(2)“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）.利用换底公式进行化简的原则和技巧：原则：化异底为同底 技巧：(1)先进行部分运算，最后再换成同底;(2)借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分
10、、求值；(3)利用对数恒等式或常用结论，有时可熟记一些常用结论.练习 例3.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：/）和燃料的质量（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）满足=(1+)2000(为自然对数的底数).当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，求火箭的最大速度（单位：/）.（3 1.099）题型三：对数运算的综合应用 解：=(1+)2000=2000(1+)，=20003 2000 1.099=2198(/).故当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，火箭的最大速度为2198/.变3.同课本例5.课堂小结&作业 小结：(1)对数的运算性质；(2)换底公式.作业：(1)整理并复习课件题型；(2)课本P126-127习题4.3 17题做作业本.
