1、第六节正弦定理和余弦定理一、教材概念结论性质重现1余弦定理三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C余弦定理的推论：cos A，cos B，cos C.2正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2R，其中R是三角形外接圆的半径正弦定理的变形公式：(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(2)sin A，sin B，sin C.(3)abcsin Asin Bsin C若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理在根据另一边所对
2、角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题3三角形的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)(2)Sbcsin Aacsin Babsin C(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)4常用结论在ABC中，常用以下结论：(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)sin(AB)sin C；cos(AB)cos C；tan(AB)tan C；sin cos ；cos sin .(5)tan Atan Btan Ctan Atan Btan C(6
3、)ABabsin Asin Bcos Ac2是ABC为锐角三角形的必要不充分条件()(4)在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，则此三角形是钝角三角形()2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cos A，则b()ABC2D3D解析：由余弦定理，得4b222bcos A5，整理得3b28b30，解得b3或b(舍去)故选D3在ABC中，若a2，c4，B60，则b等于()A2B12C2D28A解析：由余弦定理b2a2c22accos B，得b2416812，所以b2.4在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B()ABCD1B解析：根据正弦定理，有，得
4、sin B.故选B5已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，A45.若三角形有两解，则边b的取值范围是_(2，2)解析：如图，ABC有两解的充要条件是bsin 452b，解得2b0，所以sin A1，所以A，故ABC为直角三角形若本例条件变为，判断ABC的形状解：由，得，所以sin Acos Acos Bsin B，所以sin 2Asin 2B因为A，B为ABC的内角，所以2A2B或2A2B，所以AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形1判断三角形形状的常用途径2判断三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时，一定要注意三角形的解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过
5、程中，要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响在等式变形时，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解1在ABC中，sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A直角三角形B等边三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形A解析：由cos B12sin2得sin2，所以，即cos B.(方法一)由余弦定理得cos B，即a2c2b22a2，所以a2b2c2.所以ABC为直角三角形又无法判断两直角边是否相等，故选A(方法二)由正弦定理得cos B，又sin Asin (BC)sin Bcos Ccos Bsin C，所以cos Bsin Csin Bcos C
6、cos Bsin C，即sin Bcos C0.又sin B0，所以cos C0，又角C为三角形的内角，所以C，所以ABC为直角三角形又无法判断两直角边是否相等，故选A2给出下列命题：若tan Atan B1，则ABC一定是钝角三角形；若sin2Asin2Bsin2C，则ABC一定是直角三角形；若cos(AB)cos(BC)cos(CA)1，则ABC一定是等边三角形其中正确命题的序号为_解析：因为tan Atan B1，且A，B为三角形内角，所以tan A0，tan B0，所以A，B均为锐角又因为tan Ctan(AB)0，所以C为锐角，所以ABC不是钝角三角形，故错误由正弦定理及条件，得a2
7、b2c2，所以ABC一定为直角三角形，故正确由cos(AB)cos(BC)cos(CA)1及A，B，C为三角形内角，可得cos(AB)cos(BC)cos(CA)1，所以ABC故正确考点3三角形的面积综合性(2020广东化州二模)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c.若SABC2，ab6，2cos C，则c()A2B2C4D3B解析：因为1，所以2cos C1，所以C60.若SABC2，则absin C2，所以ab8.因为ab6，所以c2a2b22abcos C(ab)22abab(ab)23ab623812，所以c2.故选B(2021龙岩联考)托勒密是古希腊天文学家、地理学家、
8、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD4，且ACD为正三角形，则ABC面积的最大值为_，四边形ABCD的面积为_(注：圆内接凸四边形对角互补)4解析：如图，设ACD的边长为a.根据托勒密定理可得4aaABaBC，所以ABBC4.根据基本不等式得ABBC4，
9、当且仅当ABBC2时等号成立又ACD为等边三角形，所以ADC.根据圆内接凸四边形的对角互补得ABC.所以ABC的面积SABBCsin 4.所以ABC面积的最大值为.又因为ABDACD，CBDCAD，所以SABCDSABDSBCDABBDsinABDBCBDsinCBDsinBD(ABBC)4.(2020全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B150.(1)若ac，b2，求ABC的面积；(2)若sin Asin C，求C解：(1)由余弦定理得a2c22accos Bb2，将ac，b2，B150代入，可得(c)2c22cccos 150(2)2，整理得7c228，解得c2.所以
10、a2.所以SABCacsin B22.(2)因为ABC，所以sin Asin(BC)又因为sin Asin C，所以sin(BC)sin C，所以sin Bcos Ccos Bsin Csin C.将B150代入，整理得cos Csin C，即sin(C30).因为B150，所以0C30，即0C3060，所以C3045，解得C15.求解三角形面积问题的方法技巧(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键1
11、(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_6解析：由余弦定理得b2a2c22accos B又因为b6，a2c，B，所以364c2c222c2，所以c2，a4，所以SABCacsin B426.2(2020全国卷)如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC1，ABAD，ABAC，ABAD，CAE30，则cosFCB_.解析：ABAC，AB，AC1，由勾股定理得BC2.同理得BD，所以BFBD，在ACE中，AC1，AEAD，CAE30，由余弦定理得CE2AC2AE22ACAEcos 3013211，所以CFCE1，在BCF中，BC2，BF
12、，CF1，由余弦定理得cosFCB.3(2020菏泽高三联考)在B，a2，bcos Aacos B1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S.若4Sb2c2a2，b，且_，求ABC的面积S的大小解：因为4Sb2c2a2，cos A，Sbcsin A所以2bcsin A2bccos A显然cos A0，所以tan A1.又A，所以A.若选，B，由，得a2.又sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以Sabsin C2.若选，a2，由，得sin B.因为B，所以cos B
13、.又sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以Sabsin C2.若选，bcos Aacos B1，所以acos B1，即a1，所以a262cc2.又a26c22c6c22c，所以62cc26c22c，解得c1.所以Sbcsin A(1)sin .已知ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2b22c28，则三角形ABC面积的最大值为()ABCD四字程序读想算思ABC面积的最大值1.面积的表达式；2.以谁为变量？用适当的变量表示S转化与化归a2b22c281.Sah；2.Sabsin C；3.边作变量；4.角作变量；5.海伦公式S2a2b2(1cos2C
14、)；S1.均值不等式；2.函数最值；3.三角函数的性质思路参考：余弦定理角化边二次函数的最值B解析：因为a2b22c28，即a2b282c2，所以S2a2b2sin2Ca2b2(1cos2C)a2b2a2b2c2，故当a2b2，c2时，S2有最大值，所以ABC面积的最大值为.思路参考：设高转化，利用基本不等式B解析：如图，过点C作CDAB于点D设ADm，BDn，CDh.因为a2b22c28，所以m2n22h22c28.因为m2n2，当且仅当mn时取等号故m2n22h22c22h22c22h22ch4S，所以S，当且仅当mn，ch时取等号所以ABC面积的最大值为.思路参考：利用海伦公式S基本不等
15、式B解析：设p(abc)，则pa(bca)，pb(acb)，pc(abc)所以S.因为a2b22c28，所以S.因为a2b22c28，所以4a2b2(a2b2)2(82c2)2.所以S.当c2时，S2有最大值.所以ABC面积的最大值为.思路参考：建系设点B解析：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系不妨令x10，y20，设A(x1,0)，B(x1，0)，C(x2，y2)因为a2b22c28，所以(x1x2)2y(x1x2)2y8x8，所以5xxy4.因为Sx1y2，所以2S5xy4x4.所以S，当且仅当x20,5xy2时取等号所以ABC面积的最大值为.1本题考查
16、三角形的面积的最值问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于三角形的相关知识将目标函数转化为边之间的代数关系，借助于三角函数的性质求最值，对于此类多元最值问题要注意合理转化或消元2基于课程标准，解答本题一般需要熟练掌握数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力3基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了灵活性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性(2020全国卷)ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C(1)求A；(2)若BC3，求ABC周长的最大值解：(1)由正弦定理和已知条件sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，得BC2AC2AB2ACAB由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos A由得cos A.因为0A，所以A.(2)由正弦定理及(1)得2，从而AC2sin B，AB2sin(AB)3cos Bsin B故BCACAB3sin B3cos B32sin.又0B，所以当B时，ABC的周长取得最大值32.
