1、第二讲复数、平面向量微专题1复数常考常用结论1已知复数zabi(a，bR)，则(1)当b0时，zR；当b0时，z为虚数；当a0，b0时，z为纯虚数(2)z的共轭复数zabi.(3)z的模|z|a2+b2.2已知i是虚数单位，则(1)(1i)22i，1+i1-ii，1-i1+ii.(2)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i.保 分 题1.2022新高考卷(22i)(12i)()A24i B24iC62i D62i22022全国甲卷若z1i，则|iz3z|()A45B42C25D2232022全国乙卷已知z12i，且zazb0，其中a，b为实数，则()Aa1，b2 Ba1，b2Ca1，b2
2、 Da1，b2提 分 题例1 (1)2022福建漳州一模已知z|3i1|11+i，则在复平面内z对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)2022山东潍坊二模(多选)若复数z123i，z21i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是()Az1z2RB.z1z2z1z2C若z1m(mR)是纯虚数，那么m2D若z1，z2在复平面内对应的向量分别为OA，OB(O为坐标原点)，则|AB|5听课笔记：【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程巩固训练11.2022山东泰安二模已知复数z3-i1-2
3、i，i是虚数单位，则复数z4在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限22022河北保定二模(多选)已知复数z满足方程(z24)(z24z5)0，则()Az可能为纯虚数B方程各根之和为4Cz可能为2iD方程各根之积为20微专题2平面向量常考常用结论1平面向量的两个定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底2平面向量的坐标运算设a(x1，y1)，b(x2，y2)
4、，其中b0，为a与b的夹角(1)abx1y2x2y10.(2)ab|a|b|cos x1x2y1y2.(3)abx1x2y1y20.(4)|a|aax12+y12.(5)cos ababx1x2+y1y2x12+y12x22+y22.保 分 题1.ABC中，E是边BC上靠近B的三等分点，则向量AE()A13AB+13ACB13AB+23ACC23AB+13ACD23AB+23AC22022全国乙卷已知向量a，b满足|a|1，|b|3，|a2b|3，则ab()A2 B1C1 D232022全国甲卷已知向量a(m，3)，b(1，m1)，若ab，则m_提 分 题例2 (1)2022河北石家庄二模在平
5、行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，若BMa，BNb，则BD()A34a23bB23a23bC34a34bD23a34b(2)2022山东济宁一模等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则PAPB+PBPC的最大值为()A4 B7C8 D11听课笔记：【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值2建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值巩固训练21.2022山东济南二模在等腰梯形ABCD中，AB2CD，M为BC的中点，则AM()A12AB+12ADB34AB+12ADC34AB+14ADD12A
6、B+34AD22022福建漳州二模已知ABC是边长为2的正三角形，P为线段AB上一点(包含端点)，则PBPC的取值范围为()A14，2 B14，4C0，2 D0，4第二讲复数、平面向量微专题1复数保分题1解析：(22i)(12i)24i2i4i222i462i.故选D.答案：D2解析：因为z1i，所以z1i，所以iz3zi(1i)3(1i)22i，所以|iz3z|22i|22+-2222.故选D.答案：D3解析：由z12i可知z12i.由zazb0，得12ia(12i)b1ab(2a2)i0.根据复数相等，得1+a+b=0，2a-2=0，解得a=1，b=-2.故选A.答案：A提分题例1解析：(
7、1)z|3i1|11+i 32+-12+1-i1-i221-i252-12i，复平面内z对应的点(52，12)位于第四象限(2)对于A，z1z22+3i-1+i2+3i-1-i-1+i-1-i1-5i212-52i，A错误；对于B，z1z2(23i)(1i)-5-i，z1z25i；又z1z2(23i)(1i)-5+i，z1z2z1z2，B正确；对于C，z1m2m3i为纯虚数，m20，解得：m2，C正确；对于D，由题意得：OA(2，3)，OB(1，1)，ABOB-OA(3，4)，|AB|9+165，D正确答案：(1)D(2)BCD巩固训练11解析：z3-i1-2i3-i1+2i1-2i1+2i5
8、+5i51i，则z41i43i，对应的点位于第三象限故选C.答案：C2解析：由(z24)(z24z5)0，得z240或z24z50，即z24或(z2)21，解得：z2或z2i，显然A错误，C正确；各根之和为22(2i)(2i)4，B正确；各根之积为22(2i)(2i)20，D正确答案：BCD微专题2平面向量保分题1解析：因为点E是BC边上靠近B的三等分点，所以BE13BC，所以AEAB+BEAB+13BCAB+13(BA+AC)23AB+13AC.故选C.答案：C2解析：将|a2b|3两边平行，得a24ab4b29.因为|a|1，|b|3，所以14ab129，解得ab1.故选C.答案：C3解析
9、：由ab，可得ab(m，3)(1，m1)m3m30，所以m34.答案：34提分题例2解析：(1)如图所示，设ABm，ADn，且BDxayb，则BDxaybx(12nm)y(n12m)(12xy)n(x12y)m，又因为BDnm，所以12x+y=1x+12y=1，解得x23，y23，所以BD23a23b.故选B.(2)如图，等边三角形ABC，O为等边三角形ABC的外接圆的圆心，以O为原点，AO所在直线为y轴，建立直角坐标系因为AO2，所以A(0，2)，设等边三角形ABC的边长为a，则asinAasin602R4，所以a23，则B(3，1)，C(3，1).又因为P是该圆上的动点，所以设P(2cos
10、 ，2sin )，0，2)，PA(2cos ，22sin )，PB(32cos ，12sin )，PC(32cos ，12sin )，PAPB+PBPC2cos (32cos )(22sin )(12sin )(32cos )(32cos )(12sin )(12sin )312sin 23cos 44sin (3)，因为0，2)，33，73)，sin (3)1，1，所以当sin (3)1时，PAPB+PBPC的最大值为8.故选C.答案：(1)B(2)C巩固训练21解析：取AD中点N，连接MN，AB2CD，ABCD，|AB|2|CD|，又M是BC中点，MNAB，且|MN|12(|AB|CD|)34|AB|，AMAN+NM12AD+34AB，故选B.答案：B2解析：以AB中点O为坐标原点，OB，OC正方向为x，y轴可建立如图所示平面直角坐标系，则A(1，0)，B(1，0)，C(0，3)，设P(m，0)(1m1)，PB(1m，0)，PC(m，3)，PBPCm2m(m12)214，则当m12时，(PBPC)min14；当m1时，(PBPC)max2；PBPC的取值范围为14，2.故选A.答案：A
