1、强化训练11空间几何体的表面积与体积小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)12022山东临沂一模已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为()A3 BC D222022山东潍坊一模以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为()A2 B8CD3在三棱锥P ABC中，PA平面ABC，ABAC，且PAAB2，AC2，则三棱锥P ABC外接球的体积等于()A BC D2042022湖北黄冈中学模拟已知某圆台的高为1，上底面半径为1，下底面半径为2，则侧面展开图的面积为()A3 B6C6
2、D35一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为()A B2C3 D262022河北唐山二模如图，圆锥的轴为PO，其底面直径和高均为2，过PO的中点O1作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则圆锥与所得圆柱的体积之比为()A21 B53C31 D837已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E为BC上一点，则三棱锥B1 AC1E的体积为()A.BCD82022山东济宁三模若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为()A21 B32C73 D74二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在
3、每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为12，则关于上、下两空间图形的说法正确的是()A.侧面积之比为14B侧面积之比为18C体积之比为127D体积之比为126102022湖北武汉模拟一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是()A圆柱的侧面积为4R2B圆锥的侧面积为2R2C圆柱的侧面积与球的表面积相等D球的体积是圆锥体积的两倍11我国古代数学名著九章算术中将正四棱锥称为方锥已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面
4、，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则关于半球的说法正确的是()A半径是3B体积为18C表面积为27D表面积为18122022山东滨州二模在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把AEB，AFD和EFC折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P AEF，如图2所示，则下列结论中正确的是()APAEFB三棱锥M AEF的体积为4C三棱锥P AEF外接球的表面积为24D过点M的平面截三棱锥P AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为，6三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)132022山东济南一模已知
5、圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为_142022广东惠州一模若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为4，圆台上、下底面圆的半径分别为r1，r2(r1r2)，则rr_15一个正四棱锥的高为7，底面边长为10，若正四棱锥的五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为_162022山东烟台三模某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为_，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为_强化训练11空间几何体的表面积与体积1解析：设圆锥底面半径为r
6、，高为h，母线长为l2，则l2r2h24，底面周长2r（22）r1，所以h，所以圆锥的体积为12.答案：B2解析：以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周所得几何体是以2为底面圆半径，高为2的圆柱，由圆柱的体积公式得：V2228，所以所得到的几何体的体积为8.答案：B3解析：PA平面ABC，ABAC，因此以AP，AB，AC为棱构造一个长方体，此长方体的外接球即为三棱锥P ABC的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，由已知长方体对角线长为2，所以外接球半径为R，外接球体积为V（）3.答案：C4解析：由题意知圆台母线长为，且上底面圆周为2，下底面圆周为4，圆台侧面展开图为圆环的一部分，圆环所在
7、的小圆半径为 ，则圆环所在的大圆半径为2 ，所以侧面展开图的面积S4223.答案：D5解析：如图，四面体BDMN是正四面体，棱长BD2，将其补形成正方体GBCD MENF，则正方体GBCD MENF的棱长GBBD，此正方体的体对角线长为，正四面体BDMN与正方体GBCD MENF有相同的外接球，则正四面体BDMN的外接球半径R，所以正四面体BDMN的外接球体积为VR3（）3.答案：A6解析：圆锥的体积为V1122，圆柱的体积为V2（）21，所以V1V283.答案：D7解析：由ABCD A1B1C1D1为正方体，显然AB为A到平面EB1C1的距离， 所以VB1 AC1EVA EB1C1SEB1C
8、1AB111.答案：D8解析：如图：O1，O2分别为底面中心，O为O1O2的中点，D为AB的中点，设正六棱柱的底面边长为2，若正六棱柱有内切球，则OO1O1D，即内切球的半径r，OA2OOO1A27，即外接球的半径R，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为4R24r2R2r273.答案：C9解析：依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为13，高之比为13，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为19，体积之比为127，即小棱锥与棱台的侧面积之比为18，体积之比为126.答案：BD10解析：对于A，圆柱的底面直径和高都等于2R，圆柱的侧面积S12R2R4R2故A正
9、确；对于B，圆锥的底面直径和高等于2R，圆锥的侧面积为S2RR2，故B错误；对于C，圆柱的侧面积为S14R2，球的表面积S34R2，即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；对于D，球的体积为V1R3，圆锥的体积为V2R22RR3，即球的体积是圆锥体积的两倍，故D正确答案：ACD11解析：如图，PAC是正四棱锥的对角面，设球半径为r，AC是半圆的直径，则正四棱锥底面边长为r，棱锥体积为V（r）2rr318，r3，半球体积为Vr33318，表面积为S2323227.答案：ABC12解析：由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4的长方体，如图所示：对A：因为APPE，APPF，PEPFP，所以AP平
10、面PEF，所以PAEF，故选项A正确；对B：因为M为BE的中点，所以VM AEFVP AEF224，故选项B错误；对C：三棱锥P AEF外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径（2R）222224224，所以三棱锥P AEF外接球的表面积为S4R224，故选项C正确；对D：过点M的平面截三棱锥P AEF的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O的大圆，此时截面圆的面积为R2（）26，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，此时截面圆半径r1，截面圆的面积为r2，所以过点M的平面截三棱锥P AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为，6，故选项D正确答案：ACD13解析：因圆锥的轴截面
11、是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则此等腰三角形底边上的高即为圆锥的高h，因此，h2cos 1，圆锥底面圆半径r，所以圆锥的体积为Vr2h（）21.答案：14解析：圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，所以圆台的母线长为2r22r1，圆台的侧面积为（2r22r1）2（rr）4，所以rr2.答案：215解析：设该正四棱锥为P ABCD，由正四棱锥和球的性质可知球的球心在高上，设球心为O，底面中心为E，因为底面是正方形，所以DE5，在直角三角形ODE中，OD2OE2DE2，设球的半径为r，所以有r2（7r）250r.答案：16解析：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为MNG的中心，因为MN6，所以MNG内切圆的半径rOHMH，即内切球的半径R，所以内切球的表面积S4R212，又正三棱柱的高AA12R2，所以OMOH2，所以AO，所以A到球面上的点的距离最小值为AOR.答案：128
