1、课时规范练57极坐标方程与参数方程的应用基础巩固组1.(2021山西晋中二模)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=2+2cos,y=2sin(为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,直线l的极坐标方程为(sin +cos)=1.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)点P的极坐标为1,2,设直线l与圆C的交点为A,B两点,且AB的中点为Q,求线段PQ的长.解:(1)由x=2+2cos,y=2sin(为参数),消去参数,得圆C的普通方程为(x-2)2+y2=4,由(sin+cos)=1,结合x=cos,y=sin,可得直线l的直角坐
2、标方程为x+y-1=0.(2)由点P的极坐标为1,2,得点P的直角坐标为(0,1),可知点P在直线l上.设直线l的参数方程为x=-22t,y=1+22t(t为参数),代入圆的普通方程得t2+32t+1=0,又PQ=t1+t22,故|PQ|=t1+t22=322.2.(2021河南六市联考一)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+tcos,y=1+tsin(t为参数,0,),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为=4cos-3.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设P(1,1),若直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA-PB|的最大值.解:(1)由圆C的
3、极坐标方程为=4cos-3,得圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x+23y,即(x-1)2+(y-3)2=4.(2)将直线l的参数方程x=1+tcos,y=1+tsin(t为参数),代入(x-1)2+(y-3)2=4,得t2-2(3-1)sint-23=0.设点A,B所对应的参数为t1和t2,则t1+t2=2(3-1)sin,t1t2=-23,(方法1)|PA-PB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=4(3-1)2sin2+83,当sin=1时,|PA-PB|max=4.(方法2)由t的几何意义知,|PA-PB|=|AB|,所以|PA-PB|max=2r=4.3.在平面直角坐标系
4、中,已知曲线C的参数方程为x=1+2cos,y=1+2sin(为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l1的极坐标方程为=-66,射线l2的极坐标方程为=+2.(1)写出曲线C的极坐标方程,并指出是何种曲线;(2)若射线l1与曲线C交于O,A两点,射线l2与曲线C交于O,B两点,求ABO面积的取值范围.解:(1)将x=1+2cos,y=1+2sin(为参数),化为普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,曲线C是以(1,1)为圆心,2为半径的圆.曲线C的极坐标方程为(cos-1)2+(sin-1)2=2,整理得=2cos+2sin.(2)令1=|OA|=2cos+2sin
5、,2=|OB|=2cos+2+2sin+2=-2sin+2cos,SOAB=1212=2(cos2-sin2)=2cos2.-66,-323,12cos21,12cos22.ABO面积的取值范围为1,2.4.(2021东北三省四市教研体模拟)已知某曲线C的参数方程为x=2cos,y=sin(为参数).(1)若P(x,y)是曲线C上的任意一点,求x+2y的最大值;(2)已知过C的右焦点F,且倾斜角为02的直线l与C交于D,E两点,设线段DE的中点为M,当3161|FE|+1|FD|=|FM|时,求直线l的普通方程.解:(1)由x=2cos,y=sin,得x+2y=2cos+2sin=22sin+
6、4,当+4=2k+2,kZ,即=2k+4时,x+2y的最大值为22.(2)消去曲线C的参数方程x=2cos,y=sin中的,得x24+y2=1,右焦点为F(3,0),由题意,设直线l的参数方程为x=3+tcos,y=tsin(t为参数),将直线l的参数方程代入x24+y2=1,得(1+3sin2)t2+23tcos-1=0,设点D和点E对应的参数为t1和t2,所以t1+t2=-23cos1+3sin2,t1t2=-11+3sin20,则|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=41+3sin2,由参数的几何意义得1|EF|+1|FD|=1|t1|+1|t2|=|t1-t2|t1t2|=4,
7、所以3161|EF|+1|FD|=34,02,|FM|=t1+t22=-3cos1+3sin2=3cos1+3sin2=34,所以cos=23,所以直线l的斜率为52,直线l的普通方程为5x-2y-15=0.综合提升组5.(2021江西鹰潭一模)在平面直角坐标系xOy中,直线l过点(1,0),倾斜角为,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是=8cos1-cos2.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若=4,设直线l与曲线C交于A,B两点,求AOB的面积.解:(1)直线l的参数方程为x=1+tcos,y=tsin(t为参数).由=8cos1-c
8、os2,得2sin2=8cos,即曲线C的直角坐标方程为y2=8x.(2)当=4时,直线l的参数方程为x=1+22t,y=22t(t为参数),代入y2=8x,得t2-82t-16=0,所以t1+t2=82,t1t2=-16.所以|AB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=83.由直线l过点(1,0),所以O到AB的距离为d=1sin4=22.则SAOB=128322=26.6.(2021河南焦作一模)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+tcos,y=1+tsin(t为参数,0),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2=123+sin2,直线l与曲线
9、C的交点为A,B.(1)若=2,求|AB|;(2)设点P(1,1),求|PA|PB|PA|-|PB|的最小值.解:由曲线C的极坐标方程得32+2sin2=12,化为直角坐标方程为3(x2+y2)+y2=12,即3x2+4y2=12.将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,得(3cos2+4sin2)t2+(6cos+8sin)t-5=0.(1)当=2时,上述方程为4t2+8t-5=0,解得t1=12,t2=-52,所以|AB|=|t1-t2|=3.(2)由根与系数的关系可知t1+t2=-6cos+8sin3cos2+4sin2,t1t2=-53cos2+4sin20),l1,l2分别交曲
10、线C于M,N两点,求1|OM|2+1|ON|2的最小值.解:(1)将单位圆与“三叶玫瑰线”的极坐标方程联立得=sin3,=1,解得sin3=1,所以3=2+2k(kZ),所以=6+2k3(kZ).因为0,2),取k=0,1,2,得=6,56,32.从而得到以极点为圆心的单位圆与“三叶玫瑰线”交点的极坐标为A1,6,B1,56,C1,32.(2)将=0,=0+2代入C:=sin3(R,0,2)中,点M,N所对应的极径分别为1,2,所以1=sin30,2=-cos30,即|OM|2=sin230,|ON|2=cos230,1|OM|2+1|ON|2=1sin230+1cos230=1sin230+
11、1cos230(sin230+cos230)=2+sin230cos230+cos230sin2304,当且仅当tan230=1时,取得最小值4.9.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=cos,y=1+sin(为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=23cos ,曲线C1和C2在第一象限交于点A.(1)求点A的直角坐标;(2)直线=0,3,R与曲线C1,C2在第一象限分别交于点B,C,若ABC的面积为3,求的值.解:(1)已知曲线C1的参数方程为x=cos,y=1+sin(为参数),消去参数得C1:x2+(y-1)2=1.将曲线C1化
12、为极坐标方程为C1:=2sin.联立曲线C1和C2极坐标方程=23cos,=2sin,得交点A的极坐标为3,3,化为直角坐标为32,32.(2)连接OA(图略),由(1)点A的极坐标3,3可得,|OA|=3,AOx=3.将直线=与曲线C1和C2联立可得B(2sin,),C(23cos,),|OB|=2sin,|OC|=23cos,COx=BOx=.AOB=AOC=3-,SABC=SAOC-SAOB=12|OA|OC|sinAOC-12|OA|OB|sinAOB=12323cossin3-1232sinsin3-=3sin3-(3cos-sin)=23sin23-=3.sin23-=12,0,3,=12.
