1、简单的三角恒等变换考试要求能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)知识梳理1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2：sin22sincos.(2)公式C2：cos2cos2sin22cos2112sin2.(3)公式T2：tan2.2常用的部分三角公式(1)1cos2sin2，1cos2cos2.(升幂公式)(2)1sin2.(升幂公式)(3)sin2，cos2，tan2.(降幂公式)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)tan.()(2)设3，且|co
2、s|，那么sin的值为.()(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的()(4)存在实数，使tan22tan.()教材改编题1sin15cos15等于()AB.CD.答案B解析sin15cos15sin30.2化简的结果是()Asin2Bcos2C.cos2Dcos2答案D解析因为，又cos20，所以sin.2已知0，则.答案cos解析原式cos.因为0，所以00，所以原式cos.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系
3、点跟踪训练1(1)2等于()A2cos2B2sin2C4sin22cos2D2sin24cos2答案B解析2222|sin2cos2|2|cos2|.2，cos20，sin2cos2sin，020，原式2(sin2cos2)2cos22sin2.(2)化简等于()A.B.C.D2答案B解析原式.题型二三角函数式的求值命题点1给角求值例2(1)sin40(tan10)等于()A2B2C1D1答案D解析sin40(tan10)sin40sin40sin40sin40sin40sin401.(2)cos20cos40cos100.答案解析cos20cos40cos100cos20cos40cos80
4、.命题点2给值求值例3(1)若cos，则cos等于()A.BC.D答案C解析cos.cossinsin，cos12sin21.(2)(2022长春质检)已知sincos，则sin等于()A.B.CD答案D解析sincos，sincoscossincos，sincoscos，sincos，cos，sinsincos22cos21221.命题点3给值求角例4已知，均为锐角，cos，sin，则cos2，2.答案解析因为cos，所以cos22cos21.又因为，均为锐角，sin，所以sin，cos，因此sin22sincos，所以sin(2)sin2coscos2sin.因为为锐角，所以020，所以0
5、2，又为锐角，所以20，所以0，2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2，由两角差的正弦公式，可得sinsin2coscos2sin.思维升华(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法(2)给值(角)求值问题的一般步骤化简条件式子或待求式子；观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；将已知条件代入所求式子，化简求值跟踪训练2(1)(2019全国)已知，2sin2cos21，则sin等于()A.B.C.D.答案B解析由2sin2cos21，得4sincos12sin21，即2sincos1sin2.因为，所以cos，所以2sin
6、1sin2，解得sin.(2)(2021全国乙卷)cos2cos2等于()A.B.C.D.答案D解析因为cossinsin，所以cos2cos2cos2sin2coscos.(3)已知sin2，则sin2x.答案解析sin2，sin2x.题型三三角恒等变换的综合应用例5(2022河南中原名校联考)已知函数f(x)4cosxcos.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若，且f()，求cos2.解(1)f(x)4cosxcos4cosx2cos2x2sinxcosx(1cos2x)sin2xcos2xsin2x2cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以f(x)的单调递增区间为(k
7、Z)(2)由于，且f()，而f()2cos，所以cos，因为0，所以2，则2，所以sin，则cos 2coscoscossinsin.教师备选已知函数f(x)sincos.(1)求函数f(x)在区间上的最值；(2)若cos，求f的值解(1)由题意得f(x)sincossin.因为x，所以x，所以sin，所以sin，即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为.(2)因为cos，所以sin，所以sin22sincos，cos2cos2sin2，所以fsinsin(sin2cos2)(cos2sin2).思维升华(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆
8、用和变形使用(2)形如yasinxbcosx化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性跟踪训练3(2022云南曲靖一中质检)已知向量a，b，函数f(x)ab.(1)求函数f(x)的最大值，并指出f(x)取得最大值时x的取值集合；(2)若，为锐角，cos()，f()，求f的值解(1)f(x)cos2sin22sincoscosxsinx2sin，令x2k(kZ)，得x2k，kZ，f(x)的最大值为2，此时x的取值集合为.(2)由，为锐角，cos()，得sin()，0，又f()2sin，sin，0，且(0，)，00，02.tan0，(0，)，21，所以函数f(x)的零点个数
9、为函数ysin2x(x1)与y|ln(x1)|(x1)图象的交点的个数，作出两函数的图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点16.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上已知半圆的半径长为20m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？解如图，连接OB，设AOB，则ABOBsin20sin，OAOBcos20cos，且.因为A，D关于原点O对称，所以AD2OA40cos.设矩形ABCD的面积为S，则SADAB40cos20sin400sin2.因为，所以当sin21，即时，Smax400m2.此时AODO10m.故当点A，D到圆心O的距离为10m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400m2.
