1、直线的方程考试要求1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)知识梳理1直线的方向向量设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量2直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角(2)范围：直线的倾斜角的取值范围为0180.3直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率斜率常用小写字母k表示，即ktan_(90)(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(
2、x1x2)，其斜率k.4直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式(x1x2，y1y2)不含直线xx1和直线yy1截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论直线的斜率k与倾斜角之间的关系009090900不存在k0牢记口诀：1“斜率变化分两段，90是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”2“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数应注意过原点的特殊情况是否满足题意3直线AxByC0(A2B20)的一个法向量v(A，B)
3、，一个方向向量a(B，A)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(4)截距可以为负值()教材改编题1若过点M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1B4C1或3D1或4答案A解析由题意得1，解得m1.2倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是()Axy10Bxy10Cxy10Dxy10答案D解析直线的斜率为ktan1351，所以直线方程为yx1，即xy10.3过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线
4、方程为_答案3x2y0或xy50解析当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5.所以直线方程为xy50.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)直线2xcosy30的倾斜角的变化范围是()A.B.C.D.答案B解析直线2xcosy30的斜率k2cos.由于，所以cos，因此k2cos1，设直线的倾斜角为，则有tan1，由于0，)，所以，即倾斜角的变化范围是.(2)过函数f(x)x3x2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为()A.B.C.D.答案B解析设切线的倾斜角为，则0，)，f(x)x22x(x1)211，切线的斜率ktan1，则.教师
5、备选1(2022潮州模拟)已知点A(1,3)，B(2，1)若直线l：yk(x2)1与线段AB相交，则k的取值范围是()AkBk2Ck或k2D2k答案D解析直线l：yk(x2)1经过定点P(2,1)，kPA2，kPB，又直线l：yk(x2)1与线段AB相交，2k.2若直线l的斜率为k，倾斜角为，且，则k的取值范围是_答案，0)解析当时，ktan；当时，ktan，0)综上得k，0).思维升华直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论跟踪训练1(1)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析依题意，直线的
6、斜率k1,0)，因此其倾斜角的取值范围是.(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为_，_.答案3解析如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系设对角线OB所在直线的倾斜角为，则tan2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为45，直线OC的倾斜角为45，故kOAtan(45)，kOCtan(45)3.题型二求直线的方程例2(1)已知直线l的一个方向向量为n(2,3)，若l过点A(4,3)，则直线l的方程为()Ay3(x4)By3(x4)Cy3(x4)Dy3(x4)答案C解析方法一因为直线l的一个方向向量为n(
7、2,3)，所以直线l的斜率k，故直线l的方程为y3(x4)方法二设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则(x4，y3)，因为直线l的一个方向向量为n(2,3)，所以3(x4)2(y3)0，即直线l的方程为y3(x4)(2)(多选)过点(3,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是()Ax3y0Bxy20Cxy20Dx3y0答案AB解析当截距均为0时，设直线的方程为ykx，将点(3,1)的坐标代入得k，此时直线的方程为x3y0；当截距均不为0时，设直线的方程为1，将点(3,1)的坐标代入得a2，此时直线的方程为xy20.教师备选1已知A(1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则A
8、BC的边BC上的高所在的直线方程为()Axy0Bxy20Cxy20Dxy0答案B解析因为B(3,1)，C(1,3)，所以kBC1，故BC边上的高所在直线的斜率k1，又高线经过点A(1,1)，所以其所在的直线方程为xy20.2已知点M是直线l：2xy40与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45，得到的直线方程是()Axy30Bx3y20C3xy60D3xy60答案D解析设直线l的倾斜角为，则tank2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45，所得直线的斜率ktan3，又点M(2,0)，所以y3(x2)，即3xy60.思维升华求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式(2)
9、待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数跟踪训练2(1)已知ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为()A2xy120B2xy120C2xy80D2xy80答案C解析由题知M(2,4)，N(3,2)，中位线MN所在直线的方程为，整理得2xy80.(2)过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为_答案xy30或x2y40解析由题意可设直线方程为1.则解得ab3或a4，b2.故所求直线方程为xy30或x2y40.题型三直线方程的综合应用例3已知直
10、线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当AOB面积最小时，求直线l的方程解方法一设直线l的方程为y1k(x2)(k0，b0，因为直线l过点M(2,1)，所以1，则12，故ab8，故SAOB的最小值为ab84，当且仅当时取等号，此时a4，b2，故直线l的方程为1，即x2y40.延伸探究1在本例条件下，当|OA|OB|取最小值时，求直线l的方程解由本例方法二知，1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)332，当且仅当a2，b1时等号成立，所以当|OA|OB|取最小值时，直线l的方程为xy2.2本例中，当|MA|MB|取得最小值时，求直线l的方程解方
11、法一由本例方法一知A，B(0,12k)(k0)所以|MA|MB|224.当且仅当k，即k1时取等号此时直线l的方程为xy30.方法二由本例方法二知A(a，0)，B(0，b)，a0，b0，1.所以|MA|MB|(a2，1)(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)524，当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.教师备选如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，但EFA内部为文物保护区，不能占用，经测量AB100m，BC80m，AE30m，AF20m，应如何设计才能使草坪面积最大？解如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，直线
12、EF的方程为1.易知当矩形草坪的两邻边在BC，CD上，且一个顶点在线段EF上时，可使草坪面积最大，在线段EF上取点P(m，n)，作PQBC于点Q，PRCD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S|PQ|PR|(100m)(80n)，又1(0m30)，n20m，S(100m)(m5)2(0m30)，当m5时，S有最大值，此时5，当矩形草坪的两邻边在BC，CD上，一个顶点P在线段EF上，且|EP|5|PF|时，草坪面积最大思维升华直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决(2)与方程、
13、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决跟踪训练3已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程(1)证明直线l的方程可化为k(x2)(1y)0，令解得无论k取何值，直线l总经过定点(2,1)(2)解由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k的取值范围是0，)(3)解由题意可知k0，再由l的方程，得A，B(
14、0,12k)依题意得解得k0.S|OA|OB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.课时精练1已知直线l过点(2,1)，且倾斜角是，则直线l的方程是()Axy10ByxCx20Dy10答案C解析由于直线l过点(2,1)，且倾斜角是，则直线l的方程为x2，即x20.2(2022芜湖模拟)倾斜角为120且在y轴上的截距为2的直线方程为()Ayx2Byx2Cyx2Dyx2答案B解析斜率为tan120，利用斜截式直接写出方程，即yx2.3过点(1,0)，且方向向量为a(5，3)的直线的方程为()A3x5y30B3x5y30C3x5y10D5x
15、3y50答案B解析方法一设直线上任意一点P(x，y)，则向量(x1，y)与a(5，3)平行，则3(x1)5y0，即3x5y30.方法二因为直线的方向向量为a(5，3)，所以所求直线的斜率k，故所求直线的方程为y(x1)，即3x5y30.4若直线yaxc经过第一、二、三象限，则有()Aa0，c0Ba0，c0Ca0，c0Da0，c0答案A解析因为直线yaxc经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a0，在y轴上的截距c0.5(2022衡水模拟)1949年公布的国旗制法说明中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近为
16、便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，16，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A0B1C2D3答案C解析O，O3都为五角星的中心点，OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36，可知BAO318，过O3作x轴的平行线O3E，如图，则OO3E16，直线AB的倾斜角为18162.6直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是()A1kBk1或kCk1或kDk或k1答案D解析设直线的斜率为k，则直线方程为y2k(x1)，直线在x轴上的截距为1，令313，解不等式可得k或k0，且A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)三点共线，则ab的最小值为_答案16解析根据A(a，0)，B(0，b)确定直线的方程为1，又因为C(2，2)在该直线上，故1，所以2(ab)ab.又因为ab0，故a0，b0.根据基本不等式ab2(ab)4，从而0(舍去)或4，故ab16，当且仅当ab4时取等号，即ab的最小值为16.
