1、高 考 总 复 习 优 化 设 计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第1课时 利用导数研究函数的单调性第三章第二节2023内容索引0102强基础 增分策略增素能 精准突破课标解读衍生考点核心素养1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.4.会利用导数解决某些简单的实际问题.1.不含参函数的单调性2.含参函数的单调性3.根据函数的单调性求参数4.函数单调性的应用5.利用导数求函数
2、的极值6.利用导数求函数的最值7.利用导数解决实际问题1.数学运算2.逻辑推理3.数学抽象强基础 增分策略函数的单调性与导数的关系(1)导数到单调性条件恒有结论函数f(x)在某个区间内可导 f(x)0函数y=f(x)在这个区间上 f(x)0在(a,b)内恒成立”是“f(x)在区间(a,b)内是递增的”的什么条件?常用结论可导函数f(x)在(a,b)上是递增(减)的的充要条件是任意x(a,b),都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a,b)的任何子区间上都不恒为零.提示:充分不必要条件.“f(x)0在(a,b)内恒成立”,则“f(x)在区间(a,b)内是增加的”;反过来,若“f(x)在区间(
3、a,b)内是增加的”,需“f(x)0在(a,b)内恒成立”.增素能 精准突破考点一不含参函数的单调性典例突破例1.(1)已知函数f(x)=xln x,则f(x)()A.在(0,+)上是递增的B.在(0,+)上是递减的(2)若幂函数f(x)的图像过点 ,则函数g(x)=exf(x)的递减区间为.答案:(1)D(2)(-2,0)解析:(1)因为函数f(x)=xln x的定义域为(0,+),所以f(x)=ln x+1(x0),所以f(x)=x2,故g(x)=exx2,则g(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x),令g(x)0,得-2x0或f(x)0,则2sin x0,解得+2kx2+2k,kZ
4、,令f(x)0,得2kx0,讨论函数f(x)的单调性.突破技巧对于含参数的函数的单调性的讨论,常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个:1.求导后,考虑f(x)=0是否有实数根,从而引起分类讨论;2.求导后,f(x)=0有实数根,但不清楚f(x)=0的实数根是否落在定义域内,从而引起分类讨论;3.求导后,f(x)=0有实数根,f(x)=0的实数根也落在定义域内,但不清楚这些实数根的大小关系,从而引起分类讨论.对点训练2已知函数f(x)=-x+aln x,讨论f(x)的单调性.考点三根据函数的单调性求参数典例突破例3.若函数h(x)=ln x-ax2-2x(a0)在1,4上是递减的,则a的取值
5、范围为.变式引申1若本例条件变为“函数h(x)在1,4上是递增的”,则a的取值范围为.答案:(-,-1解析:因为h(x)在1,4上是递增的,所以当x1,4时,h(x)0恒成立,所以a-1,即a的取值范围是(-,-1.变式引申3若本例条件变为“函数h(x)在1,4上不单调”,则a的取值范围为.答案:(-1,0)(0,+)解析:因为h(x)在1,4上存在递减区间,所以h(x)-1.又因为a0,所以a的取值范围是(-1,0)(0,+).变式引申3若本例条件变为“函数h(x)在1,4上不单调”,则a的取值范围为.突破技巧利用函数单调性求参数取值范围的两类热点问题的处理方法(1)函数f(x)在区间D上存
6、在递增(减)区间.方法一:转化为“f(x)0(0(或f(x)0)成立”.(2)函数f(x)在区间D上是递增(减)的.方法一:转化为“f(x)0(0)在区间D上恒成立”;方法二:转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.A.2,5B.(-,5)C.(3,5)D.(1,2答案:(1)C(2)A(2)函数f(x)在R上为增函数,当x1;令g(x)=2x3+ax-4,x1,+),则g(x)=6x2+a,a0,g(x)0,即g(x)在1,+)上是递增的,g(x)g(1)=2+a-4=a-2,要使当x1时f(x)0恒成立,则a-20,解得a2.函数f(x)在R上为增函数,考点四导数在研究函
7、数单调性中的应用(多考向探究)考向1.比较大小典例突破A.acbB.abcC.cabD.cba答案:D解析:因为log32=log278,log53=log259,由对数函数的单调性可知log278log259,所以log32log53,且0log32log530,所以f(x)在(0,1)内是递增的;当x(1,+)时,f(x)0,所以f(x)在(1,+)上是递减的.因为0log32log531,所以f(log32)f(log53)ba.突破技巧利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件中的函数或者构造辅助函数,把比较大小的问题转化为利用导数研究函数的单调性,根据单调性比较大小的问题.A.abcB
8、.acbC.bacD.bca答案:C考向2.解不等式典例突破例5.(2021山东潍坊一中高三月考)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x),满足f(x)f(x),且f(0)=,则不等式f(x)-ex0的解集为.答案:(0,+)解题心得1.类似于比较大小,解不等式问题也利用题目条件或构造辅助函数,把问题转化为利用导数研究函数的单调性问题.2.与抽象函数有关的不等式,要充分挖掘题目中条件关系,恰当构造函数.题目中若存在f(x)与f(x)的关系时,常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数,与题设形成解题链条,利用导数研究新函数的单调性,从而求解不等式.对点训练5(2021云南昆明一中模拟)已知函数f(x)=ex-e-x+sin x,若f(t)+f(1-3t)0,当且仅当x=0时,等号成立,所以函数f(x)在R上为增函数.因为f(t)+f(1-3t)0,所以f(t)-f(1-3t)=f(3t-1),
