1、高 考 总 复 习 优 化 设 计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第一节 导数的概念及运算第三章2023内容索引0102强基础 增分策略增素能 精准突破课标解读衍生考点核心素养1.了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数.2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义.3.能根据导数定义,求一些简单函数的导数.4.能利用函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.导数的运算2.导数的几何意义3.导数几何意义的应用1.直观想象2.数学运算强基础 增分策略1.导数与导函数的概念x0点几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)就是函数图像在该点处
2、切线的.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程是物理意义函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x0处的导数就是质点在x=x0时的速度,在(a,b)内的导数就是质点在(a,b)上的方程斜率y-f(x0)=f(x0)(x-x0)瞬时速度微点拨(1)一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)内的每一点x处都有导数,导数值记为f(x),则f(x)是关于x的函数,称f(x)为f(x)的导函数,简称为导数.(2)函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢,|f(x)|越大,曲线在这点处的切线
3、越“陡峭”.微思考1f(x)与f(x0)有什么不同?微思考2直线与曲线相切,是不是直线与曲线只有一个公共点?提示:f(x)是一个函数,f(x0)是函数f(x)在x0点的函数值,是一个常数,f(x0)=0.提示:不一定.2.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数y=c(c为常数)y=y=x(Q*)y=y=sin xy=y=cos xy=y=exy=y=ax(a0,a1)y=y=ln xy=y=logax(a0,a1)y=y=tan xy=y=cot xy=0 x-1cos x-sin xexaxln a 3.导数的四则运算法则(1)f(x)g(x)=f(x)g(x);(2)f(x
4、)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);中间是减号,需注意顺序常用结论1.一般地,奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.熟记以下结论:增素能 精准突破考点一导数的运算典例突破A.1B.2C.4D.8(2)(2021四川攀枝花一模)已知函数f(x)=x3-f(1)x2+2,则f(2)=()答案:(1)D(2)C(3)D(2)f(x)=3x2-2f(1)x,则f(1)=3-2f(1),解得f(1)=1,则f(x)=x3-x2+2,f(2)=23-22+2=6.突破技巧常见形式及具体求导的方法连乘形式先展开化为多项式形式,再求导三角形式先利用三角函数公式
5、转化为和或差的形式,再求导分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导根式形式先化为分数指数幂的形式,再求导对数形式先化为和、差形式,再求导对点训练1求下列函数的导数.解:(1)y=(x2)sin x+x2(sin x)=2xsin x+x2cos x.考点二导数的几何意义(多考向探究)考向1.求切线的方程典例突破例2.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.解:(1)f(x)=3x2-8x+5,f(2)=1,又f(2)=-2,曲线在点(2,f(2)处的切线方程为y+2=x-2,即
6、x-y-4=0.突破技巧求曲线过点P的切线方程的方法(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:第一步:设出切点坐标P(x1,f(x1);第二步:写出过点P(x1,f(x1)的切线方程y-f(x1)=f(x1)(x-x1);第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.对点训练2(1)(2021广东七校联合体联考)曲线f(x)=2x+cos x在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是.(2)(2
7、021安徽滁州模拟)已知函数f(x)=ex+2x,过点(1,2)作曲线y=f(x)的切线,则函数的切线方程为.考向2.求曲线的切点坐标典例突破例3.(1)设曲线y=ex+1上点P处的切线平行于直线x-y-1=0,则点P的坐标是.答案:(1)(0,2)(2)ln 2解析:(1)由题意,得y=ex,且切线斜率为1,设切点为P(x,y),则ex=1,所以x=0,y=e0+1=2,故切点P的坐标为(0,2).解题心得已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.对点训练3(2021浙江杭州学军中学模拟)曲线
8、y=上一点P处的切线的斜率为-4,则点P的坐标为.由g(x)=3ax+2cos x,得g(x)=3a-2sin x,又-2sin x-2,2,3a-2sin x-2+3a,2+3a.要使曲线f(x)=-ex-x上任意一点处的切线l1,总存在曲线g(x)=3ax+2cos x上某点处的切线l2,使得l1l2,解题心得利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.对点训练4若曲线f(x)=(ax-1)ex在x=0处的切线与直线x+y-6=0垂直,则a=()A.0B.1C.2D.3答案:C解析:因为f(x)=(ax-1)ex,
9、则f(x)=(ax+a-1)ex,直线x+y-6=0的斜率为k=-1,由题意可得f(0)=a-1=1,解得a=2.考向4.两曲线的公切线典例突破例5.(2021贵州凯里模拟)与曲线f(x)=和g(x)=3ln x都相切的直线l与直线x+3y+a=0垂直,则b的值为()A.-5B.2C.10D.-10答案:D解析:因为直线l与直线x+3y+a=0垂直,则直线l的斜率为3,设直线l与曲线g(x)=3ln x相切的切点(x1,3ln x1),突破技巧解两曲线公切线问题的两种方法1利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切,列出关系式求解2设公切线l在y=f(x)上的切点P1(x1,f(x1),在y=
10、g(x)上的切点P2(x2,g(x2),则f(x1)=g(x2)=对点训练5(2021陕西咸阳模拟)已知函数f(x)=xln x,g(x)=x2+ax(aR),若经过点A(0,-1)存在一条直线l与f(x)图像和g(x)图像都相切,则a=()A.0B.-1C.3D.-1或3答案:D解析:设直线l与f(x)=xln x相切的切点为(m,mln m),由f(x)=xln x的导数为f(x)=1+ln x,可得切线的斜率为1+ln m,则切线的方程为y-mln m=(1+ln m)(x-m),将A(0,-1)代入切线的方程可得-1-mln m=(1+ln m)(0-m),解得m=1,则切线l的方程为y=x-1,联立可得x2+(a-1)x+1=0,由=(a-1)2-4=0,解得a=-1或3.
