1、高 考 总 复 习 优 化 设 计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第四节 幂函数与二次函数第二章2023内容索引0102强基础 增分策略增素能 精准突破课标解读衍生考点核心素养1.通过实例,了解幂函数的概念.2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,的图象,了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.1.幂函数的图象与性质2.二次函数的解析式3.二次函数的图象4.二次函数的性质5.三个“二次”之间的关系1.数学抽象2.直观想象3.数学运算4.逻辑推理强基础 增分策略1.幂函数(1)幂函数的定
2、义一般地,函数叫做幂函数,其中x是自变量,是常数.微点拨幂函数的特点:自变量x处在幂底数的位置,幂指数为常数;x的系数为1;只有一项.y=x(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较幂函数图象若与坐标轴有交点,一定交于坐标原点x|x0 x|x0 y|y0 y|y0 y|y0 奇偶奇非奇非偶奇(-,0(0,+)0,+)(-,0)(0,+)(1,1)微点拨1.幂函数在(0,+)上都有定义;2.当0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+)上单调递增;3.当0时,y0,故幂函数的图象一定经过第一象限,一定不过第四象限.2.二次函数的图象和性质(1)二次函数的定义形如f(x)=ax2+b
3、x+c(a0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的图象和性质微点拨二次函数系数的特征(1)二次函数y=ax2+bx+c(a0)中,系数a的正负决定图象的开口方向;(2)-的值决定图象对称轴的位置;(3)c的取值决定图象与y轴的交点;(4)b2-4ac的正负决定图象与x轴的交点个数.微思考1二次函数解析式有哪些常用形式?微思考2已知f(x)=ax2+bx+c(a0),f(x)0和f(x)0(a0)恒成立”的充要条件是“a0,且0”.(2)“ax2+bx+c0(a0)恒成立”的充要条件是“a0,且0(或x0),f(x)既非奇函数也非偶函数,图象只在第一象限(或第一象限及原点处).3.二次函数在闭区
4、间上的最值设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),闭区间为m,n,增素能 精准突破考点一幂函数的图象与性质典例突破例1.(1)幂函数y=(mZ)的图象如图所示,则m的值为()A.-1B.0C.1D.2解析:(1)从图象上看,由于图象不过原点,且在第一象限下降,故m2-2m-30,即-1m0时,第一象限图象是单调递增;当cb考点二二次函数的解析式典例突破例2.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求二次函数f(x)的解析式.解:(方法1利用二次函数的一般式)故所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.(方法2利用二次函数的顶点式)设f(x)=a
5、(x-m)2+n(a0).(方法3利用二次函数的两点式)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.故所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.解题心得确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:对点训练2已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(-2,-1),且图象经过点(1,0),则函数的解析式为f(x)=.(方法2)设所求解析式为f(x)=ax2+bx+c(a0).考点三二次函数的图象与性质(多考向探究)考向1.二次函数的图象典例突破例3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图
6、象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1.给出下面四个结论:b24ac;2a-b=1;a-b+c=0;5a0,即b24ac,正确;对称轴为直线x=-1,结合图象,当x=-1时,y0,即a-b+c0,错误;由对称轴为直线x=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,所以a0,所以5a2a,即5a0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;若a0,b0,从而-0,则f(2)=a-4=-3,解得a=1,所以f(x)=(x-1)2-4.(2)当t+11,即t0时,函数f(t)在t,t+1上单调递减,此时,g(t)=f(t+1)=t2-4;当t
7、1t+1,即0t1时,函数f(t)在t,1)上单调递减,在(1,t+1上单调递增,此时g(t)=f(1)=-4;当t1时,函数f(t)在t,t+1上单调递增,此时g(t)=f(t)=t2-2t-3.突破技巧二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考虑对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.对点训练4(2021浙江东阳中学高三月考)已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1.若f(x)在区间-1,+)上单调递减,则实数a的取值范围是;
8、若函数f(x)在x1,2上的最小值为2,则a的值为.答案:-3,02解析:第1空:函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间-1,+)上单调递减,当a=0时,f(x)=-3x+1,函数在R上单调递减,所以满足条件;当a0时,开口向上,在对称轴右侧,函数单调递增,不满足条件,综上可知,实数a的取值范围是-3,0.第二空:当a=0时,函数f(x)=-3x+1在R上单调递减,函数在1,2上的最小值f(2)=-52,所以不成立;考向3.二次函数中的恒成立问题典例突破例5.已知函数f(x)=x2-x+1,在区间-1,1上,不等式f(x)2x+m恒成立,则实数m的取值范围是.答案:(-,-1)解析:f(
9、x)2x+m等价于x2-x+12x+m,即x2-3x+1-m0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m0在-1,1上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上的最小值大于0即可.g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上单调递减,g(x)min=g(1)=-m-1.由-m-10,得m-1.因此满足条件的实数m的取值范围是(-,-1).对点训练5设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x1,3,f(x)-m+4恒成立,则实数m的取值范围为()答案:D解析:由题意,f(x)-m+4对于x1,3恒成立,即m(x2-x+1)5对于x1,3恒成立.当x1,3时,x
10、2-x+11,7,考点四三个“二次”之间的关系典例突破例6.已知函数f(x)=x2,g(x)=x-1.(1)若存在xR使f(x)bg(x),求实数b的取值范围;(2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在0,1上单调递增,求实数m的取值范围.解:(1)xR,f(x)bg(x)xR,x2-bx+b0b4.故b的取值范围为(-,0)(4,+).(2)F(x)=x2-mx+1-m2,=m2-4(1-m2)=5m2-4.解题心得二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”,它们之间有着密切的联系,而二次函数又是“三个二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,有关“三个二次”的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.对点训练6不等式(a2-4)x2+(a+2)x-10的解集是空集,则实数a的取值范围为()答案:B
