1、1.2命题及其关系、充分条件与必要条件【考试要求】1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义【知识梳理】1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且
2、qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp【常用结论】充分、必要条件与对应集合之间的关系设Ax|p(x)，Bx|q(x)若p是q的充分条件，则AB；若p是q的充分不必要条件，则AB；若p是q的必要不充分条件，则BA；若p是q的充要条件，则AB.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“x22x30”是命题()(2)“x1”是“x0”的充分不必要条件()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真()(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件()【教材题改编】1“ab”是“ac2
3、bc2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析当ab时，若c20，则ac2bc2，所以abac2bc2，当ac2bc2时，c20，则ab，所以ac2bc2ab，即“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件2命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是_答案两直线不平行，同位角不相等3方程x2axa10有一正一负根的充要条件是_答案a(，1)解析依题意得a10，a1，则x21”的否命题；命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；命题“全等三角形面积相等”的否命题；命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题A1 B2 C3 D4答案B解析命题“
4、若x1，则x21”的否命题为“若x1，则x21”，不正确，例如取x2.命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”是假命题命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”是真命题综上可得真命题的个数为2.(2)能说明“若f(x)f(0)对任意的x(0,2都成立，则f(x)在0,2上是增函数”为假命题的一个函数是_答案f(x)sin x，x0,2(答案不唯一)解析设f(x)sin x，则f(x)在上是增函数，在上是减函数由正弦函数图象的对称性知，当x(0,2
5、时，f(x)f(0)sin 00，故f(x)sin x满足条件f(x)f(0)对任意的x(0,2都成立，但f(x)在0,2上不一直都是增函数【备选】(2022合肥模拟)设x，yR，命题“若x2y22，则x21或y21”的否命题是()A若x2y22，则x21或y21B若x2y22，则x21或y21C若x2y22，则x21且y21D若x2y22，则x21且y21答案C解析根据否命题的定义可得命题“若x2y22，则x21或y21”的否命题是“若x2y22，则x21且y21”思维升华判断命题真假的策略(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可(2)根据“原命题与逆
6、否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假跟踪训练1(1)(2022安顺模拟)命题“若x，y都是奇数，则xy是偶数”的逆否命题是()A若x，y都是偶数，则xy是奇数B若x，y都不是奇数，则xy不是偶数C若xy不是偶数，则x，y都不是奇数D若xy不是偶数，则x，y不都是奇数答案D解析命题“若x，y都是奇数，则xy是偶数”的逆否命题是“若xy不是偶数，则x，y不都是奇数”(2)命题p：若x0，则xa；命题q：若ma2，则ma，则x0”，当它是真命题时，a0.又q的逆否命题为真命题，则命题q为真命题，即“若ma2，则m1”为真命题，a
7、21，即a1，综上有0a1.题型二充分、必要条件的判定例2(1)已知p：x1，q：log2x0，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由x0，所以p对应的x的范围为(0，)，由log2x0知0x0，乙：Sn是递增数列，则()A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a11时，ana1qn10，若a10，则qn0(nN*)，即q0；若a10，则qn0，q：0log21，所以(a1)(b1)1，即ab1，b1，则ab0，所以1，所以p是q的充分条件；因为1，
8、所以0，则abab，若abab，所以p不是q的必要条件，所以p是q的充分不必要条件思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断，适用于定义、定理判断性问题(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题跟踪训练2(1)“a2，b2”是“ab4，ab4”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若a2，b2，则ab4，ab4.当a1，b5时，满足ab4，ab4，但不满足a2，b2，所以ab4，ab4a2，b2，故“a2，b2”是“ab4，ab4”的充分不必要条件(2)(2022成都
9、模拟)若a，b为非零向量，则“ab”是“(ab)2a2b2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析因为ab，所以ab0，则(ab)2a22abb2a2b2，所以“ab”是“(ab)2a2b2”的充分条件；反之，由(ab)2a2b2得ab0，所以非零向量a，b垂直，“ab”是“(ab)2a2b2”的必要条件故“ab”是“(ab)2a2b2”的充要条件题型三充分、必要条件的应用例3已知集合Ax|x28x200，非空集合Bx|1mx1m若xA是xB的必要条件，求m的取值范围解由x28x200，得2x10，Ax|2x10由xA是xB的必要条件，知BA.则当0m
10、3时，xA是xB的必要条件，即所求m的取值范围是0,3延伸探究本例中，若把“xA是xB的必要条件”改为“xA是xB的充分不必要条件”，求m的取值范围解xA是xB的充分不必要条件，AB，则或解得m9，故m的取值范围是9，)【备选】(2022泰安检测)已知p：xa，q：|x2a|3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，1)C1，) D(1，)答案A解析因为q：|x2a|3，所以q：2a3x2a3，记Ax|2a3x2a3，p：xa，记为Bx|xa因为p是q的必要不充分条件，所以AB，所以a2a3，解得a1.思维升华求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件
11、转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验跟踪训练3(1)使1成立的一个充分不必要条件是()A1x3 B0x2Cx2 D0x2答案B解析由1得0x2，依题意由选项组成的集合是(0,2的真子集，故选B.(2)已知p：实数m满足3am0)，q：方程1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是_答案解析由2mm10，得1m，即q：1m.因为p是q的充分条件，所以解得a.课时精练1(2022韩城模拟)设p：2x3，q：|x2|1，那么p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解
12、析解不等式|x2|1得1x21，解得1x3，因为x|2x3x|1x3，因此p是q的充分不必要条件2(2022马鞍山模拟)“若x，yR，x2y20，则x，y全为0”的逆否命题是()A若x，yR，x，y全不为0，则x2y20B若x，yR，x，y不全为0，则x2y20C若x，yR，x，y不全为0，则x2y20D若x，yR，x，y全为0，则x2y20答案C解析根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，可以写出“若x，yR，x2y20，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，yR，x，y不全为0，则x2y20”3(2021浙江)已知非零向量a，b，c，则“acbc”是“ab”的()A充分不必要条
13、件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由acbc，得到(ab)c0，所以(ab)c或ab，所以“acbc”是“ab”的必要不充分条件4(2022六安模拟)设原命题：“若ab2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法正确的是()A原命题与其否命题均为假命题B原命题为真命题，否命题为假命题C原命题与其否命题均为真命题D原命题为假命题，否命题为真命题答案B解析若a，b都小于1，故ab2，从而与ab2矛盾，故原命题：“若ab2，则a，b中至少有一个不小于1”为真命题，故AD错误；原命题的否命题为：若ab2，则a，b都小于1，不妨令a3，b2，ab12，从而当ab1”是“Sn
14、1Sn12Sn”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案D解析若Sn1Sn12Sn，则Sn1SnSnSn1，即an1an，所以数列an为递增数列，所以a10,0q0，q1；若a11，不能推出an1an，所以“q1”是“Sn1Sn12Sn”的既不充分也不必要条件6(2022青岛模拟)“x0，ax”的充要条件是()Aa2 Ba2Ca0，所以xx22222，当且仅当x2，即x0时等号成立，因为x0，所以x2，所以“x0，ax” 的充要条件是a2.7已知命题“若m1xm1，则1x2”的逆命题是真命题，则m的取值范围是()A(1,2) B1,2)C(1,2 D1,2答案
15、D解析命题的逆命题“若1x2，则m1xm1”成立，则得得1m2，即实数m的取值范围是1,28(2022长沙模拟)已知集合Ax|x26x80，Bx|(xa)(xa1)0，若xA是xB的必要条件，则a的取值范围是()A(2,3)B2,3C(，2)(3，)D(，23，)答案B解析Ax|x26x80x|2xa，Bx|axa1，若xA是xB的必要条件，则必有B是A的子集，2a3.9(2022延边模拟)若“方程ax23x20有两个不相等的实数根”是真命题，则a的取值范围是_答案a且a0解析由题意知解得a4x”成立的一个充分条件是_答案x22x等价于x2x，解得x4x”成立的一个充分条件只需为集合x|x0)
16、有公共点的充要条件是_答案a1，)解析直线ykx1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2y2a2内部(包含边界)，a21.又a0，a1.12给出下列四个命题：命题“在ABC中，sin Bsin C是BC的充要条件”；“若数列an是等比数列，则aa1a3”的否命题；已知a，b是非零向量，“若ab0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；命题“直线l与平面垂直的充要条件是l与平面内的两条直线垂直”其中真命题是_(填序号)答案解析对于，在ABC中，由正弦定理得sin Bsin CbcBC，是真命题；“若数列an是等比数列，则aa1a3”的否命题是“若数列an不是等比数列，则aa1a3”，取an0，
17、可知是假命题；已知a，b是非零向量，“若ab0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题“若a与b的夹角为锐角，则ab0”为真命题；直线l与平面内的两条直线垂直是直线l与平面垂直的必要不充分条件，是假命题13设集合Ax|2ax0，命题p：1A，命题q：2A.若p和q中有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围是()A0a1或a2 B0a2C1a2 D1a2答案C解析若p和q中有且只有一个为真命题，则有p真q假或p假q真，当p真q假时，则解得1a2；当p假q真时，则无解，综上，1a2.14若“x24x30”是“x2mx40”的充分条件，则实数m的取值范围为_答案m5解析依题意有x24x301x3，x2mx4
18、x24，1xx，设f(x)x(1x3)，则函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，f(1)5，f(2)4，f(3)，因此函数f(x)x(1x3)的值域为4,5)，“x24x30”是“x2mx41”是“不等式2xax成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()Aa3 Ba4 Daax，即2xxa.设f(x)2xx，则函数f(x)为增函数由题意知“2xxa成立，即f(x)a成立”能得到“x1”，反之不成立当x1时，f(x)3，a3.16已知r0，x，yR，p：|x|1，q：x2y2r2，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是_答案解析画出|x|1表示的平面区域(图略)，由图可得p对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x0，y0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x1，即2xy20.由p是q的必要不充分条件，可得圆x2y2r2的圆心(0,0)到直线2xy20的距离dr，又r0，所以实数r的取值范围是.
