1、易错点7 函数的零点与方程根的关系一、单选题1. 若关于x的不等式x2+kx10在1,2区间上有解，则k的取值范围是（ ）A. (,0)B. (32,0)C. 32,+)D. (32,+)2. 关于函数f(x)=sinx+cosx有下述四个结论：fx的周期为2；fx在0,54上单调递增；函数y=fx1在,上有3个零点；函数fx的最小值为2.其中所有正确结论的编号为（ ）A. B. C. D. 3. 函数f(x)=(x+2)lnx的零点为（ ）A. 2和1B. (2,0)和(1,0)C. (1,0)D. 14. 形如y=bxcc0,b0的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称
2、为“囧函数”.若函数fx=ax2+x+1(a0且a1)有最小值，则当c=1,b=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 65. 下列函数中是奇函数且有零点的是（ ）A. f(x)=x+|x|B. f(x)=x1+xC. f(x)=+tanxD. f(x)=sin(x+)6. 定义在R上的函数f(x)同时满足：对任意的xR都有f(x+1)=f(x)；当x(1,2时，f(x)=2x.若函数g(x)=f(x)logax(a1)恰有3个零点，则a的最大值是（ ）A. 5B. 2C. 3D. 47. 定义在R上的函数f(x)同时满足：对任意的xR都有f(x+1)=f(x)
3、；当x(1,2时，f(x)=2x.若函数g(x)=f(x)logax(a1)恰有3个零点，则a的最大值是（ ）A. 5B. 2C. 3D. 48. 若关于x的方程(1+x2)sinA+2xsinB+(1x2)sinC=0有两个相等的实根，则在ABC中，角C为（ ）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不确定9. 已知函数fx=lnx+1x+a，f(x)是fx的导函数，若关于x的方程x+1fx=fx有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（ ）A. ,12ln2B. 12ln2,0C. ,14ln2D. 14ln2,010. 对任意xR，函数fx满足f1+x=f1x，若方程fx=2sin3x+6=
4、0的根为x1，x2，xn，则x1+x2+xn=（ ）A. n2B. nC. 2nD. 4n二、单空题11. 若函数f(x)=aexx2有两极值点，则实数a的取值范围是_。12. 下列几个命题方程x2+(a3)x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a1，则x1”的否命题为“若x21，则x1”；命题“xR，使得x2+x+11”是“x2+x20”的充分不必要条件正确的是_13. x表示不超过x的最大整数，例如2.9=2，4.1=5，已知f(x)=xx(xR)，g(x)=log4(x1)，则函数h(x)=f(x)g(x)的零点个数是_14. 已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，且
5、当0x2时，f(x)=minx2+2x,2x，若方程f(x)mx=0恰有两个根，则m的取值范围是_15. 已知函数f(x)=ax+12x，且f(1)=52(1)求a的值；(2)判定f(x)的奇偶性，并说明理由；(3)令g(x)=f(x)m，若y=g(x)有两个不同的零点，写出实数m的值(此问不需要写过程)16. 已知函数f(x)=6x2+x1()求f(x)的零点；()若为锐角，且sin是f(x)的零点()求tan(+)cos()cos(2)sin()的值；()求sin(+6)的值17. 设函数fx=2x+k12xxR是偶函数，(1)求不等式fx52的解集；(2)设函数gx=nfx21xf2x2
6、，若gx在x1,+上有零点，求实数n的取值范围18. 设函数fk(x)=2x+(k1)2x,xR,kZ(1)若不等式f0(x)+mf1(x)4在x0,1上恒成立，求实数m的取值范围；(2)设函数g(x)=f0(x)f2(2x)+1，若gx在x1,+上有零点，求实数的取值范围一、单选题1. 若关于x的不等式x2+kx10在1,2区间上有解，则k的取值范围是（ ）A. (,0)B. (32,0)C. 32,+)D. (32,+)【答案】D【解析】解：关于x的不等式x2+kx10在区间1,2上有解，kx1x2在x1,2上有解，即k1xx在x1,2上成立；设函数f(x)=1xx，x1,2，f(x)=1
7、x211xx在x1,2上有解，则k32，即实数a的取值范围为(32,+)故选D2. 关于函数f(x)=sinx+cosx有下述四个结论：fx的周期为2；fx在0,54上单调递增；函数y=fx1在,上有3个零点；函数fx的最小值为2.其中所有正确结论的编号为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】f(x)=sinx+cos|x|=sinx+cosx，f(x+2)=sin(x+2)+cos(x+2)=f(x)，故正确;f(x)=sinx+cosx=2sin(x+4)，当x0,54，x+44,32，函数先增后减，故错误;f(x)=2sin(x+4)=1，即sin(x+4)=22，x+434,
8、54，共有2个解，故错误;f(x)=2sin(x+4)，最小值为2，故正确故选A3. 函数f(x)=(x+2)lnx的零点为（ ）A. 2和1B. (2,0)和(1,0)C. (1,0)D. 1【答案】D【解析】解：由f(x)=0得(x+2)lnx=0，因为x0，所以x+20，所以lnx=0，解得x=1，故选D4. 形如y=bxcc0,b0的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数fx=ax2+x+1(a0且a1)有最小值，则当c=1,b=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】解：函数fx=ax2+x+
9、1a0,a1有最小值，a1，当c=1,b=1时，y=bxc=1x1，画出函数y=1x1与y=logax的图象在同一坐标系数内的图象：结合图形，得到交点个数有4个故选C5. 下列函数中是奇函数且有零点的是（ ）A. f(x)=x+|x|B. f(x)=x1+xC. f(x)=+tanxD. f(x)=sin(x+)【答案】C【解析】解：对于选项A：f(x)=x+|x|不是奇函数，与题意不相符，对于选项B：f(x)=x1+x为奇函数，没有零点，与题意不符，对于选项C：f(x)=1x+tanx为奇函数，是连续函数，时，y0，函数存在零点，符合题意，对于选项D：是偶函数，与题意不符，故选：C6. 定义
10、在R上的函数f(x)同时满足：对任意的xR都有f(x+1)=f(x)；当x(1,2时，f(x)=2x.若函数g(x)=f(x)logax(a1)恰有3个零点，则a的最大值是（ ）A. 5B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：由f(x+1)=f(x)得函数的周期是1，当x(1,2时，f(x)=2xf(1)=f(2)=0，作出函数f(x)的图象如图：由g(x)=0得f(x)=logax，当0a1时，h(x)=logax为增函数，要使g(x)=f(x)logax(a0且a1)恰有3个零点，即f(x)与h(x)=logax的图象有3个交点，则满足h(2)=loga221a3，即21)恰有3个零
11、点，则a的最大值是（ ）A. 5B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：画出函数y=f(x)的图象，如下图所示若函数g(x)=f(x)logax(a1)恰有3个零点，则函数y=logax的图象与函数y=f(x)的图象有3个交点则需满足loga21loga31，解得2a3，所以实数a最大值为3，故选C8. 若关于x的方程(1+x2)sinA+2xsinB+(1x2)sinC=0有两个相等的实根，则在ABC中，角C为（ ）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不确定【答案】A【解析】解：由正弦定理，可得sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，则关于x的方程(1+x2)sinA+2
12、xsinB+(1x2)sinC=0，即为(1+x2)a+2xb+(1x2)c=0方程整理为(ac)x2+2bx+a+c=0，根据题意得=4b24(ac)(a+c)=0，a2=b2+c2，ABC为直角三角形，即A为直角，故角C为锐角故选A9. 已知函数fx=lnx+1x+a，f(x)是fx的导函数，若关于x的方程x+1fx=fx有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（ ）A. ,12ln2B. 12ln2,0C. ,14ln2D. 14ln2,0【答案】C【解析】解：由fx=lnx+1x+a，所以函数fx的定义域为0,+，fx=1x1x2，则方程x+1fx=fx，即为x+11x1x2=lnx+
13、1x+a，化简可得a=11x2lnx1x，由关于x的方程x+1fx=fx有两个不相等的实根，所以可知方程a=11x2lnx1x有两个不相等的实根，故令g(x)=11x2lnx1x，g(x)=2x31x+1x2=x2x+1x3当0x0，所以函数g(x)单调递增，当x2时，g(x)0，所以函数g(x)单调递减所以g(x)max=g(2)=14ln2，又14ln2=ln4eln2=ln4eln4160，所以g(x)max=g(2)=14ln20，故可知a14ln2故选C10. 对任意xR，函数fx满足f1+x=f1x，若方程fx=2sin3x+6=0的根为x1，x2，xn，则x1+x2+xn=（ ）
14、A. n2B. nC. 2nD. 4n【答案】B【解析】解：因为函数fx满足f(1+x)=f(1x)，所以函数f(x)的对称轴方程为x=1因为方程的根为x1，x2，xn，设x1+x2+xn=S，则S=xn+x2+x1，因为函数f(x)的对称轴方程为x=1，所以x1+xn=2,x2+xn1=2,xn+x1=2，所以2S=2n，即S=n，所以x1+x2+xn=n故选B二、单空题11. 若函数f(x)=aexx2有两极值点，则实数a的取值范围是_。【答案】(0,2e)【解析】解：fx=aex2x，因为函数f(x)=aexx2有两极值点，所以fx=aex2x有两个不同的零点，即a=2xex有两个不同的
15、根设g(x)=2xex，则g(x)=2(1x)ex所以函数g(x)在(,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减。所以g(x)max=g(1)=2e另外g(0)=0；x0时,g(x)0；x+时,g(x)0所以0a2e故答案为：(0,2e)12. 下列几个命题方程x2+(a3)x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a1，则x1”的否命题为“若x21，则x1”；命题“xR，使得x2+x+11”是“x2+x20”的充分不必要条件正确的是_【答案】【解析】方程x2+(a3)x+a=0的有一个正实根，一个负实根，根据韦达定理，得a1，则x1”的否命题为“若x21，则x1”，故命题错误；全称命题的否定为特称
16、命题，命题“xR，使得x2+x+10的解为x1，“x1”是“x2+x20”的充分不必要条件，故命题正确正确的命题为故答案为13. x表示不超过x的最大整数，例如2.9=2，4.1=5，已知f(x)=xx(xR)，g(x)=log4(x1)，则函数h(x)=f(x)g(x)的零点个数是_【答案】2【解析】解：当0x1时，x=0，则f(x)=xx=x，当1x2时，x=1，则f(x)=xx=x1，当2x3时，x=2，则f(x)=xx=x2，当3x4时，x=3，则f(x)=xx=x3，当4x5时，x=4，则f(x)=xx=x4，当5x6时，x=5，则f(x)=xx=x5，此时f(x)0,1)，即当nx
17、n+1，n1且n为整数时，x=n，则f(x)=xx=xn0,1)，由h(x)=f(x)g(x)=0得f(x)=g(x)，分别作出函数f(x)和g(x)的图象如图：则两个函数图象有2个交点，故函数零点的个数为2个，故答案为214. 已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，且当0x2时，f(x)=minx2+2x,2x，若方程f(x)mx=0恰有两个根，则m的取值范围是_【答案】2,1313,2【解析】解：由题意得fx=x2+2x,0x12x,1x2，又因为fx是偶函数且周期是4，可得函数的图象，令gx=mx，问题转化为函数fx和gx有两个交点的问题，结合图象可得，当0x1时，f
18、(x)=2x+2,则过原点的切线的斜率为2，又过(0,0)和(3,1)两点直线的斜率为13，再根据对称性，得到函数fx和gx有两个交点时，2m13或13m2，则m的取值范围是2,1313,2故答案为2,1313,2三、解答题15. 已知p：函数fx=amxa,mR在R上单调递减，q：关于x的方程x22ax+a21=0的两根都大于1(1)当m=5时，p是真命题，求a的取值范围；(2)若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求m的取值范围【答案】解：(1)因为m=5，所以f(x)=(a5)x，因为p是真命题，所以0a51，所以5a6故a的取值范围是(5,6)(2)若p是真命题，则0am1，解得m
19、a1，解得a2因为p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，所以m216. 已知函数f(x)=ax+12x，且f(1)=52(1)求a的值；(2)判定f(x)的奇偶性，并说明理由；(3)令g(x)=f(x)m，若y=g(x)有两个不同的零点，写出实数m的值(此问不需要写过程)【答案】解：(1)因为f1=52，所以52=a+12，所以a=2；(2)由(1)得f(x)=2x+12x，所以f(x)的定义域为(,+)，f(x)=2x+12x=12x+2x，所以f(x)=f(x)，所以f(x)为偶函数；(3)g(x)=f(x)m，因为y=g(x)有两个不同的零点，即gx=0，即fx=m，设y=fxy=m,
20、即y=fx图象与y=m有两个不同的交点，由(2)得f(x)=2x+12x为偶函数，由2x+12x22x12x=2，等号当且仅当x=0时取等号，作出函数图象：由图得m2时，恰有两个交点，即有两个不同的零点17. 已知函数f(x)=6x2+x1()求f(x)的零点；()若为锐角，且sin是f(x)的零点()求tan(+)cos()cos(2)sin()的值；()求sin(+6)的值【答案】解：()令f(x)=6x2+x1=0，解得x=13或x=12，f(x)的零点为x=13或x=12；()由为锐角，所以sin=13，()tan(+)cos()cos(2)sin()=tancossinsin=1si
21、n=3；()由为锐角，所以，可得：=1332+22312=3+22618. 设函数fx=2x+k12xxR是偶函数，(1)求不等式fx52的解集；(2)设函数gx=nfx21xf2x2，若gx在x1,+上有零点，求实数n的取值范围【答案】解：(1)因为fx是偶函数，所以fx=fx恒成立，即2x+k12x=2x+k12x恒成立也即k222x1=0恒成立，所以k=2，由f(x)=2x+2x52得，222x52x+20，解得2x2，即x1，所以不等式fx52的解集为x|x1(2)gx=nfx21xf2x2=n2x+2x21x22x22x2=n2x2x22x+22x2在x1,+上有零点，即为n2x2x
22、22x+22x2=0在x1,+上有解因为x1,+，所以2x2x0，所以条件等价于n=22x+22x+22x2x在x1,+上有解，令p=2x，则p2，令u=p1p，则u在p2,+上单调递增，因此u32，n=u2+4u设ru=u2+4u=u+4u，ru在2,+上单调递增，在32,2上单调递减，所以函数ru在u=2时取得最小值，且最小值r(2)=4，所以ru4,+)，从而满足条件的实数n的取值范围是4,+)19. 设函数fk(x)=2x+(k1)2x,xR,kZ(1)若不等式f0(x)+mf1(x)4在x0,1上恒成立，求实数m的取值范围；(2)设函数g(x)=f0(x)f2(2x)+1，若gx在x1,+上有零点，求实数的取值范围【答案】解：(1)不等式f0(x)+mf1(x)4在x0,1上恒成立，即为2x2x+m2x4，m2x2x+42x=(12x)2+412x1恒成立，令t=12x12,1，设h(t)=t2+4t1，t12,1，mh(t)min=h(12)=54；(2)g(x)=(2x2x)(22x+22x)+1在x1,+)上有零点，令2x2x=t，t32,+)，则22x+22x=t2+2，等价于s(t)=t2t+1=0在t32,+)上有零点，则转化为=t+1t在32,+)上有解，因为t+1t在32,+)上单调递增，所以136
