1、易错点21 等比数列一、单选题1. 在明朝程大位算法统宗中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯.这首古诗描述的浮屠，现称宝塔.本浮屠增级歌意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔中共有灯381盏，问这个宝塔第3层灯的盏数有 A. 12B. 24C. 48D. 962. 已知数列an的前项和Sn=Aqn+Bq0，则“A=B“是“数列an是等比数列”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列说法正确的是若数列an是等差数列，且am+an=as+at(m,n,s,tN)，则
2、m+n=s+t；若Sn是等差数列an的前n项的和，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列；若Sn是等比数列an的前n项的和，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列；若Sn是等比数列an的前n项的和，且Sn=Aqn+B(其中AB是非零常数，nN)，则A+B=0A. B. C. D. 4. 设数列an满足2an=an+1(nN)，且前n项和为Sn，则S5a3的值A. 314B. 152C. 154D. 3125. 设等比数列an的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，则S5+S10+S15S10S5=A. 72B. 92C. 92D. 726. 设f(n)=2+23+25+27+22n+
3、7(nZ)，则f(n)等于A. B. C. D. 7. 已知各项为正的等比数列an中，a1与a2017的等比中项为22，则2a4+a2014的最小值为A. 16B. 8C. 22D. 48. 已知等比数列an满足a2a4a9=27，则a5=A. 3B. 3C. 33D. 99. 在等比数列an中，若对nN，anan+1=3n，则公比q=_10. 已知正项数列an满足an+126an2=an+1an，若a1=2，则数列an的前n项和为_11. 若数列an是等差数列，对于bn=1n(a1+a2+an)，则数列bn也是等差数列.类比上述性质，若数列cn是各项都为正数的等比数列，对于dn0时，数列dn
4、也是等比数列，则dn=12. 已知公差不为0的等差数列an满足a32=a1a4，Sn为数列an的前n项和，则S3S2S5S3的值为_三、解答题13. 已知正项等比数列an的前n项和为Sn，a1=2，2S2=a2+a3(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=2n1an+2log2an，求数列bn的前n项和14. 已知数列an满足a2=3，an+1=2an+1，设bn=an+1(1)证明：bn是等比数列；(2)求a1+a3+a5+a2n+115. 已知数列an中，a1=1，an0，前n项和为Sn，an=Sn+Sn1(nN，且n2).(1)求数列an的通项公式；(2)记cn=3an2n+1，求数列
5、cn的前n项和Tn16.已知正项数列an满足：a1=a，an+124an2+an+12an=0，nN()判断数列an是否是等比数列，并说明理由；()若a=2，设an=bnn.nN，求数列bn的前n项和Sn一、单选题1、在明朝程大位算法统宗中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯.这首古诗描述的浮屠，现称宝塔.本浮屠增级歌意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔中共有灯381盏，问这个宝塔第3层灯的盏数有 A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】C【解析】解：从第1层到塔顶第7层，每层的灯数构成一个等比数列，公比
6、为12，前7项的和为381，则S7=a11(12)7112=381，解得a1=192，即第一层a1=192，则第三层a3=192(12)2=48故选C2、已知数列an的前项和Sn=Aqn+Bq0，则“A=B“是“数列an是等比数列”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：当A=B=0时，Sn=0，数列an不是等比数列，充分性不成立；当数列an是等比数列，又数列an前n项和为Sn=Aqn+B(q0)，a1=S1=Aq+B，an=SnSn1=Aqn1q1，n2，数列an是等比数列，显然q1，可得Aq+B=Aq11q1，A=B，必要性成
7、立故选B3、下列说法正确的是若数列an是等差数列，且am+an=as+at(m,n,s,tN)，则m+n=s+t；若Sn是等差数列an的前n项的和，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列；若Sn是等比数列an的前n项的和，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列；若Sn是等比数列an的前n项的和，且Sn=Aqn+B(其中AB是非零常数，nN)，则A+B=0A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：对于：取数列an为常数列，对任意m、n、s、tN，都有am+an=as+at，故错；对于：设等差数列an的首项为a1，公差为d，则Sn=a1+a2+an，S2nSn=an+1+an+2+a2
8、n=a1+nd+a2+nd+an+nd=Sn+n2d，同理：S3nS2n=a2n+1+a2n+2+a3n=an+1+an+2+a2n+n2d=S2nSn+n2d=Sn+2n2d，2(S2nSn)=Sn+(S3nS2n)，Sn，S2nSn，S3nS2n是等差数列，故正确；对于：设an=(1)n，则S2=0，S4S2=0，S6S4=0，此数列不是等比数列，故错；对于：因为an=SnSn1=(Aqn+B)(Aqn1+B)=AqnAqn1=A(q1)qn1，n2，所以此数列为首项是A(q1)，公比为q的等比数列，则Sn=A(q1)(1qn)1q，所以Sn=AqnA，A+B=0，故正确；故选C4、设数列
9、an满足2an=an+1(nN)，且前n项和为Sn，则S5a3的值A. 314B. 152C. 154D. 312【答案】A【解析】解：由题意知，数列an是以2为公比的等比数列，故S5a3=a1(125)12a122=314故选A5、设等比数列an的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，则S5+S10+S15S10S5=A. 72B. 92C. 92D. 72【答案】B【解析】解：等比数列an的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，(S10S5)：S5=1：2，由等比数列的性质得(S15S10)：(S10S5)：S5=1：(2)：4，S15：S5=3：4，S5+S10+S15S10S5=S
10、5+12S5+34S512S5S5=92，故选B6、设f(n)=2+23+25+27+22n+7(nZ)，则f(n)等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：依题意，f(n)可以看作以2为首项，4为公比的等比数列的前n+4项的和，f(n)=2+23+25+27+22n+7=21(22)n+4122=23(4n+41)故选D7、已知各项为正的等比数列an中，a1与a2017的等比中项为22，则2a4+a2014的最小值为A. 16B. 8C. 22D. 4【答案】B【解析】解：因为a1a2017=222=8，即a4a2014=8，则2a4+a201422a4a2014=8故选B8、已知等
11、比数列an满足a2a4a9=27，则a5=A. 3B. 3C. 33D. 9【答案】B【解析】解：由题意，等比数列an满足a2a4a9=27，则有a1a5a9=27，即(a5)3=27，a5=3故选B二、填空题9在等比数列an中，若对nN，anan+1=3n，则公比q=_【答案】3【解析】解：nN，anan+1=3n，a1a2=3，a2a3=32，q2=a2a3a1a2=3又a1a2=30，q0，q=3故答案为310已知正项数列an满足an+126an2=an+1an，若a1=2，则数列an的前n项和为_【答案】3n1【解析】解：正项数列an满足an+126an2=an+1an，(an+13a
12、n)(an+1+2an)=0，数列an是正项数列，an+1=3an，数列an是等比数列，首项为2，公比为3数列an的前n项和Sn=2(3n1)31=3n1，故答案为3n111若数列an是等差数列，对于bn=1n(a1+a2+an)，则数列bn也是等差数列.类比上述性质，若数列cn是各项都为正数的等比数列，对于dn0时，数列dn也是等比数列，则dn=【答案】nc1c2cn【解析】解：设数列cn的公比为q，则cn=c1qn1，所以nc1c2cn=nc1nq1+2+(n1)=nc1nqn(n1)2=c1qn12，所以dn=nc1c2cn，则数列dn是等比数列故答案为nc1c2cn12已知公差不为0的
13、等差数列an满足a32=a1a4，Sn为数列an的前n项和，则S3S2S5S3的值为_【答案】2【解析】解：由已知设公差为d(d0)，则(a1+2d)2=a1(a1+3d)，所以a1=4d，所以S3S2S5S3=a3a4+a5=a1+2d2a1+7d=2dd=2故答案为2三、解答题13已知正项等比数列an的前n项和为Sn，a1=2，2S2=a2+a3(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=2n1an+2log2an，求数列bn的前n项和【答案】解：(1)因为2S2=a2+a3，所以2a1+a2=a3，所以q2q2=0，解得q=2所以an=2n(2)由题意得bn=(2n1)(12)n+2n令c
14、n=(2n1)(12)n，其前n项为Pn，则Pn=1(12)+3(12)2+(2n1)(12)n12Pn=1(12)2+3(12)3+(2n3)(12)n+(2n1)(12)n+1两式相减得：12Pn=12+(12)2+(12)3+(12)n(2n1)(12)n+1=12+2141(12)n1112(2n1)(12)n+1=32(12)n1(2n1)(12)n+1所以Pn=3(2n+3)(12)n，而2(1+2+n)=2n(n+1)2=n(n+1)，所以数列bn的前n项和Tn=3(2n+3)(12)n+n(n+1)14已知数列an满足a2=3，an+1=2an+1，设bn=an+1(1)证明：
15、bn是等比数列；(2)求a1+a3+a5+a2n+1【答案】证明：(1)an+1=2an+1，且a2=3，3=2a1+1，a1=1在an+1=2an+1两边同时加1得：an+1+1=2an+1，bn+1=2bn，又b1=a1+1=20，an+1+1an+1=2，bn是以2为首项，2为公比的等比数列；(2)由(1)可得bn=2n，故an=2n1，a1+a3+a5+a2n+1=(21)+(231)+(251)+(22n+11)=2+23+.+22n+1(n+1)=214n+114n1=22n+33n5315已知数列an中，a1=1，an0，前n项和为Sn，an=Sn+Sn1(nN，且n2).(1)
16、求数列an的通项公式；(2)记cn=3an2n+1，求数列cn的前n项和Tn【答案】解：(1)在数列an中，an=SnSn1(n2)，an=Sn+Sn1且an0，式式得：SnSn1=1(n2)，数列Sn是以S1=a1=1为首项，公差为1的等差数列，Sn=1+(n1)=n，Sn=n2，当n2时，an=SnSn1=n2(n1)2=2n1，当n=1时，a1=1，也满足上式，数列an的通项公式为an=2n1;(2)由(1)知，an=2n1，cn=2n2n，则Tn=12+022+123+2n2n12Tn=122+023+124+3n2n+2n2n+1两式相减得，12Tn=12+122+123+12n2n
17、2n+1，=12122+123+12n2n2n+1，=1212212n121122n2n+1=n2n+1，Tn=n2n16已知正项数列an满足：a1=a，an+124an2+an+12an=0，nN()判断数列an是否是等比数列，并说明理由；()若a=2，设an=bnn.nN，求数列bn的前n项和Sn【答案】解：()an+124an2+an+12an=0，(an+12an)(an+1+2an+1)=0，又an是正项数列，可得an+1+2an+10，an+1=2an，当a=0时，数列an不是等比数列；当a0时，易知an0，故an+1an=2，所以数列an是等比数列，首项为a，公比为2；()由()知，an=2n，bn=2n+n，Sn=(1+2+3+n)+(2+22+2n)=2n+12+12n(n+1)
