1、微专题 5 三角形中的范围(最值)问题 三角形中的取值范围和最值问题一直是高考的热点和难点，常以小的压轴题出现，解决此类问题要善于利用三角形的性质或者巧妙地引入参数本专题主要对以三角形为载体的最值问题进行探究，并在解题过程中感受三角、解集、函数、不等式等知识的整体联系.例题：(2018江苏卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC120，BD 是ABC 的平分线，交 AC 于点 D，且 BD1，求 4ac 的最小值 变式 1 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m(2ac，b)，n(cosB，cosC)，且 m，n 垂直(1)求角 B 的大
2、小；(2)若ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，且 BD1，设 BCx，BAy，试确定 y 关于 x的函数关系式，并求边 AC 的取值范围 变式 2 如图，某水域有两条直线型岸边 l1和 l2成定角 120，该水域中位于该角平分线上且与顶点 A 相距 1 km 的 D 处有一固定桩，现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网BC(B，C 分别在 l1和 l2上)围出三角形 ABC 的养殖区，且 AB 和 AC 的长都不超过 5 km，设 ABx km，ACy km，(1)将 y 表示成 x 的函数，并求其定义域；(2)该渔民至少可以围出多少平方千米的养殖区？串讲 1 在ABC 中，角 A
3、，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ab，ABC 周长为 7，求 BC 边上的中线 AD 的最小值 串讲 2 在等腰直角OPQ 中，POQ2，OP2 2，点 M 在线段 PQ 上，点 N 在线段 MQ上，且MON6.(1)设POM，试用 表示 OM，ON，并写出 的范围；(2)当 取何值时，OMN 的面积最小？并求出面积的最小值 (2018全国大联考)已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m(ca，b)，n(ca，bc)，且 a3，mn.(1)求ABC 面积的最大值；(2)求 bc 的取值范围 在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设A
4、BC 的面积为 S，且4S 3(a2c2b2)(1)求B 的大小；(2)设向量 m(sin2A，3cosA)，n(3，2cosA)，求 mn 的取值范围 答案：(1)3；(2)(6，3 23 解析：(1)由题意，有 412acsinB 3(a2c2b2)，2 分 则 sinB 3a2c2b22ac，所以 sinB 3cosB.4 分 因为 sinB0，所以 cosB0，所以 tanB 3.又 0B，所以 B3.6 分(2)由向量 m(sin2A，3cosA)，n(3，2cosA)，得 mn3sin2A6cos2A3sin2A3cos2A33 2sin2A4 3.8 分 由(1)知 B3，所以
5、AC23，所以 0A23.所以 2A4 4，1312.10 分 所以 sin2A4 22，1.12 分 微专题 5 例题 1 答案：9.解法 1 由 SABDSCBDSABC，得12c1sin6012a1sin6012acsin120，所以，acac.即1a1c1.所以 4ac(4ac)(1a1c)5ca4ac 52ca4ac 9.当且仅当 c2a 即 a32，c3 取等号，所以 4ac 的最小值为 9.解法 2 如图作 DEAB 交 BC 点 E，所以EDBDBADBE60，因为 BD1，所以BDE 是边长为 1 的正三角形，CECBDEAB，即a1a 1c，变形得 acac，变形得 44a
6、1c1.于是 1 44a1c（21）24ac，解得 4ac9，当且仅当 4a2c，当且仅当 c2a 即 a32，c3 时取等号，所以 4ac 的最小值为 9.解法 3 设BDC，易得 60120，在BDC 中，BCsin BDsinC，因为 BD1，sinC sin(60)，所以 a sinsin（60），同理 c sinsin（60）.所 以4a c 4sinsin（60）sinsin（60）4sin12sin 32 cos sin12sin 32 cos813tan213tan（2 2 2）2（13tan）（13tan）9.当且仅当 2 2(13tan)2(13tan)时取等号，即 tan
7、3 3时 4ac 取最小值 9.解法 4 以 B 为坐标原点，BC 为 x 轴正方向，建立平面直角坐标系，则 A 落在第二象限，设直线 AC 的方程为 y 32 k(x12)，其中 3k0，即 ak 32k，由于直线BA 的方程为 y 3x 代入 y 32 k(x12)，解得 xAk 32（k 3）0，则 4a c2（k 3）k3k3k 1 23(1k1k 3)1 23（11）2kk 39.当且仅当k1(k 3)1，即 k 32 时取等号，所以 4ac 的最小值为 9.变式联想 变式 1 答案：(1)23；(2)2 3，)解析：(1)因为 mn，所以(2ac)cosBbcosC0，在ABC 中
8、，由正弦定理得(4RsinA 2RsinC)cosB 2RsinBcosC 0，所 以(2sinA sinC)cosB sinBcosC 0，即2sinAcosBsin(BC)0，即 sinA(2cosB1)0，因为 A，B(0，)，所以 sinA0，解得 cosB12，B23.(2)因为 SABCSABDSBCD，SABC12xysin23 34 xy，SABD12ysin3 34 y，SBCD12xsin3 34 x，所以 xyxy，即 y xx1，x(1，)在ABC 中，由余弦定理得 AC2x2y22xycos23 x2y2xy(xy)2xy(xy12)214，因为 xyxy（xy）24，x0，y0，所以 xy4，所以 AC2(412)214，所以 AC2 3.所以 AC的取值范围是2 3，)变式 2 答案：(1)y xx1，x|54x5；(2)3.解析：(1)由 SABCSABD SACD得，12xsin60 12ysin6012xysin120，所以 xyxy，所以 y xx1，又 0y5，0a3，所以 bc 的取值范围是(3，2 3
