1、第一章 二元一次方程组 一、二元一次方程组1、概念：二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是1的方程，叫二元一次方程。二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成了二元一次方程组。2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解： 使二元一次方程左右两边的值相等（即等式成立）的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。注：、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组（对）数，用大括号联立；、一
2、个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解（即无公共解）。二元一次方程组的解的讨论：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2 已知二元一次方程组 、 当a1/a2 b1/b2 时，有唯一解；、 当a1/a2 = b1/b2 c1/c2时，无解；、 当a1/a2 = b1/b2 = c1/c2时，有无数解。x + y = 42x + 2y = 8 x + y = 32x + 2y = 5 x + y = 43x - 5y = 9 例如：对应方程组：、 、 、例：判断下列方程组
3、是否为二元一次方程组：x = 112x + 3y = 0 3t + 2s = 5ts + 6 = 0 x = 4y = 5 a + b = 2b + c = 3 、 、 、 、 3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数： 用含X的代数式表示Y，就是先把X看成已知数，把Y看成未知数；用含Y的代数式表示X，则相当于把Y看成已知数，把X看成未知数。例：在方程 2x + 3y = 18 中，用含x的代数式表示y为：_,用含y的代数式表示x为:_。4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值：要抓住两个方面：、未知数的指数为1，、未知数前的系数不能为0例：已知方程 (a-2)x(/a/-1) (b+5)y
4、(b2-24) = 3 是关于x、y的二元一次方程，求a、b的值。5、求二元一次方程的整数解例：求二元一次方程 3x + 4y = 18 的正整数解。思路：利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法，可以求出方程有正整数解时x、y的取值范围，然后再进一步确定解。解：用含x的代数式表示y: y = 9/2 (3/4)x 用含y的代数式表示x: x = 6 (4/3)y 因为是求正整数解，则：9/2 (3/4)x 0 , 6 (4/3)y 0所以，0 x 6 ,0 y 设元（设未知数） 根据数量关系式列出方程组 解方程组 检验并作答（注意：此步骤不要忘记）2、列方程组解应用题的常见题型： （1
5、）、和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量 - 较小量 = 相差量 ，总量 = 倍数 倍量； （2）、产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例； （3）、速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程 = 速度 时间，包括相遇问题、追及问题等； （4）、航速问题：、顺流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 + 水（风）速； 、逆流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 水（风）速； （5）、工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作总量 = 工作效率工作时间，（有时需把工作总量看作1）； （6）、增长率问题：解这类问题的基本关系式是：原量（1+增长率）= 增长后的量，原量
6、（1-减少率）= 减少后的量； （7）、盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量； （8）、数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示； （9）、几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式； （10）、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。例1：一批水果运往某地，第一批360吨，需用6节火车车厢加上15辆汽车，第二批440吨，需用8节火车车厢加上10辆汽车，求每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨？例2：甲、乙两物体分别在周长为400米的环形轨道上运动，已知它们同时从一处背向出发
7、，25秒后相遇，若甲物体先从该处出发，半分钟后乙物体再从该处同向出发追赶甲物体，则再过3分钟后才赶上甲，假设甲、乙两物体的速度均不变，求甲、乙两物体的速度。 例3：甲、乙二人分别以均匀速度在周长为600米的圆形轨道上运动，甲的速度比乙大，当二人反向运动时，每150秒相遇一次，当二人同向运动时，每10分钟相遇一次，求二人的速度。例4：有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3 ：7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4 ：1，今要得到酒精与水的比是3 ：2的酒精溶液50kg，求甲、乙两种溶液各取多少kg？例5：一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1立方米木料可制成方桌桌面50个，或制作桌腿300
8、条，现有5立方米木料，请问，要用多少木料做桌面，多少木料做桌腿，能使桌面恰好配套？此时，可以制成多少张方桌？例6：某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离。农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入资金水稻4人1万元棉花8人1万元蔬菜5人2万元例7：某农场有300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花、蔬菜三种农作物，已知种植各种农作物每公顷所需劳动力人数及投入资金如右表：已知该农场计划投入资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积才能使所有职工都有工作而且投入资
9、金正好够用？例8：某酒店的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元，一个50人的旅游团到该酒店租了若干间客房，且每间客房恰好住满，一天共花去1510元，求两种客房各租了多少间？年级捐款数额（元）捐助贫困中学生人数（名）捐助贫困小学生人数（名）初一年级400024初二年级420033初三年级7400例9：某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元。某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与使用这些捐款恰好资助受捐助中学生和小学生人数的部分情况如右表：（1）、求a、b的值；（2）初三年级的捐款解决了其余
10、贫困中小学生的学习费用，请分别计算出初三年级的捐款所资助的中学生和小学生人数。四、三元一次方程组的解法1、概念：由三个方程组成方程组，且方程组中共含有三个未知数，每个方程中含有的未知数的次数都是1次，这样的方程组叫三元一次方程组。注：三元一次方程组中的三个方程并不一定都是三元一次方程，只需满足“方程组中共含有三个未知数”的条件即可。2、解三元一次方程组的基本思想：一元一次方程消元(代入法、加减法)二元一次方程组消元(代入法、加减法)三元一次方程组3x + 4z = 72x + 3y + z = 95x 9y + 7z = 83x + 4y + z = 14x + 5y + 2z = 172x + 2y - z = 3例1：解方程组 例2：在y = ax+bx+c中，当x=1时，y=0；x=2时，y=3；x=3时,y=28，求a、b、c的值。当x = -1时，y的值是多少？例3：甲、乙、丙三数之和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数。例4：小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，一段平路，一段下坡路，如果保持上坡路每小时行3千米，平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米，那么小明从家到学校需要1小时，从学校回家只需要44分钟。求小明家到学校的上坡路、平路、下坡路各是多少千米？
