1、微专题16阿波罗尼斯圆问题梳理及其运用动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点，尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系，寻找动点满足的条件，得出动点的轨迹是一个定圆，从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题，并在解决问题的过程中感悟转化与化归、化繁为简的数学思想方法.例题：在ABC中，若AB2，ACBC，求ABC面积的最大值变式1在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2y21，O1：(x4)2y24，动点P在直线xyb0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围为_变式2已知点A(2，0)，B(
2、4，0)，圆C：(x4)2(yb)216，点P是圆C上任意一点，若为定值，则b的值为_串讲1已知A(0，1)，B(1，0)，C(t，0)，点D是直线AC上的动点，若AD2BD恒成立，则最小正整数t的值为_串讲2已知点P是圆O：x2y225上任意一点，平面上有两个定点M(10，0)，N(，3)，则PNPM的最小值为_(2018南京、盐城、连云港二模)调查某地居民每年到商场购物次数m与商场面积S、到商场距离d的关系，得到关系式mk(k为常数)如图，某投资者计划在与商场A相距10 km的新区新建商场B，且商场B的面积与商场A的面积之比为(01)记“每年居民到商场A购物的次数”，“每年居民到商场B购物
3、的次数”分别为m1，m2，称满足m10)三点，M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B(1，0)且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P，Q两点(1)若tPQ6，求直线l2的方程；(2)若t是使AM2BM恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值答案：(1)4x3y40.；(2).解析：(1)由题意可知，圆C的直径为AD，所以圆C方程为(x3)2(y1)210.1分设l2方程为yk(x1)，则3210，解得k10，k2.3分当k0时，直线l1与y轴无交点，不合题意，舍去.4分所以k，此时直线l2的方程为4x3y40.6分(2)设M(x，y)，由点M在线段AD上，得1，即
4、2xty2t0.由AM2BM，得.8分由AD位置知，直线AD和圆至多有一个公共点，故，解得t或t.10分因为t是使AM2BM恒成立的最小正整数，所以t4.11分所以，圆C方程为(x2)2(y1)25.当直线l2：x1时，直线l1的方程为y0，此时，SEPQ2；12分当直线l2的斜率存在时，设l2的方程为yk(x1)(k0)，则l1的方程为y(x1)，点E.所以BE.圆心C到l2的距离为.所以PQ22.14分故SEPQBEPQ2.因为2，所以(SEPQ)min.16分_微专题16例题答案：2.解法1设BCx，则ACx，根据面积公式得SABCABBCsinB2x，根据余弦定理得cosB，代入上式得
5、：SABCx，由三角形三边关系有22x22，故当x2时，SABC取得最大值2.解法2以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(1，0)，B(1，0)，C(x，y)，由ACBC得，化简得x2y26x10，即(x3)2y28，于是点C的轨迹是以D(3，0)为圆心，2为半径的圆，所以点C到AB的距离的最大值为半径2，故SABC的最大值为S2|yC|2.变式联想变式1答案：.解析：依题意，PA2PO212，PB2PO1222，因为PB2PA，所以PB24PA2，所以PO1244(PO212)，可得PO124PO2，设P(x，y)，可得(x42)y24(x2y2)化简得(x
6、)2y2.所以满足条件的点P在以(，0)为圆心，为半径的圆上，又因为点P在直线xyb0上，且恰有两个点，所以直线和圆应该相交，所以，解得b4.变式2答案：0.解析：设P(x，y)，k，则k，整理得(1k2)x2(1k2)y2(48k2)x416k20，又P是圆C上的任意一点，故k1，圆C的一般方程为x2y28x2byb20，因此2b0，8，b2，解得b0.串讲激活串讲1答案：4.解法1由A(0，1)，C(t，0)，得l：yx1，D(x，x1)又AD2BD，故2，化简得(3)x2(8)x80对任意x恒成立，则(8)248(3)0，化简得t24t10，解得t2或00.(1)在PAB中，AB10，P
7、A15，PAB60，由余弦定理，得d22PB2AB2PA22ABPAcos6010215221015175.又d12PA2225，此时，m1m2kkkkkS1()，将，d12225，d22175代入，得m1m2kS1()因为kS10，所以m1m2.即居住在点P处的居民不在商场B相对于A的“更强吸引区域”内(2)解法1以AB所在直线为x轴，A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(10，0)，设P(x，y)，由m1m2得，kk，将S2S1代入，得d22d12.代入坐标，得(x10)2y2(x2y2)，化简得(1)x2(1)y220x1000.因为01，配方得(x)2y2()2，
8、所以商场B相对于A的“更强吸引区域”是圆心为C(，0)，半径为r1的圆的内部与商场B相距2 km以内的区域(含边界)是圆心为B(10，0)，半径为r22的圆的内部及圆周由题设，圆B内含于圆C，即BC|r1r2|.因为01，所以102，整理得4510，解得1.所以，所求的取值范围是(，1)解法2要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”，则当d22时，不等式m1m2恒成立由m1m2，得kd22.此时，“当d22时，不等式m1d22恒成立”所以当d22时，不等式恒成立，因为点P在以点B为圆心，2为半径的圆的内部，且AB10，所以8AB2PAAB212.欲使得不等于PA2恒成立，则有82，解得，又01，所以的取值范围是(，1)9
