1、微专题11与平面向量相关的最值问题1.给定两长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图，点C在以O为圆心的圆弧(包含端点)上变动若xy，其中x，yR，则xy的最大值是_2如图，在正六边形ABCDEF中，P是三角形CDE内(包含边界)的动点，xy，则xy的取值范围是_3在ABC中，D，E分别是边BC上的两个三等分点，点P是线段DE上一点，且xy(x，yR)，则xy的取值范围为_4如图，在矩形ABCD中，AB2，AD2，P为矩形内一点，且AP2，若(，R)，则的最大值为_5如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，动点P在边BC上，且满足mn(m，n0)，求的最小值6如图
2、，在等腰三角形ABC中，已知ABAC1，A120，E，F分别是边AB，AC上的点，且m，n，其中m，n(0，1)若EF，BC的中点分别为M，N，且m4n1，则|的最小值为_7已知O为三角形ABC的外心，AB2a，AC，BAC120，若xy(x，yR)，求3x6y的最小值8如图，在ABC中，E为边AC上一点，且3，P为BE上一点，且满足mn(m0，n0)，求的最小值微专题111答案：2.解法1以O为原点，OA所在直线为x轴，OA的垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，B，C(cos，sin)，则.因为xy，即(cos，sin)x(1，0)y，则从而得所以xycoscossin2sin，当
3、时，xy取得最大值2.解法2记OC与AB的交点为D，由等和线的知识可知xy，易得当OD最小时，xy取得最大值，此时D为AB中点，xy取得最大值2.2答案：3，4解法1设在正六边形ABCDEF的边长为1，以A为原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，F，C，D(1，)，E(0，)，设点P(x，y)，则x，y满足设直线l：xyt，由线性规划知识可知，当l平移至过EC时，xy取得最小值3，当l平移至过D时，xy取得最大值4，所以xy的取值范围是3，4解法2连接BF，AD，记AD与BF，CE分别交于M，N，由等和线的知识可知，xy3，43答案：.
4、解析：因为点P，B，C三点共线，所以xy1，且x，xyx(1x)，所以xy.4答案：.解法1以A为原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，D(2，0)，P(2cos，2sin)，则.因为，即(2cos，2sin)(0，2)(2，0)，则从而得所以sincossin，当时，取得最大值.解法2以A为圆心，2为半径作圆交AD于E，则AEAD，连接BE交AP于点Q，因为.所以，由等和线知识可知，当|最小时，取得最大值，此时Q位于BE中点5答案：.解析：设a，b，则ab，设，则ab，因为manb，所以有1m，n，消去得mn1，从而2(当且仅当m42，
5、n时取等号)6答案：.解析：以N为原点，BC所在直线为x轴，NA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，因为ABAC1，A120，则A，B，C，又因为m，n，所以E，F，由于M，N分别为EF、BC的中点，所以M，N(0，0)，所以|2(1m)(1n)2(1m)2(1m)(1n)(1n)2.m4n1，可得1m4n.代入上式可得2(4n)24n(1n)(1n)2n2n，m，n(0，1)当n时，2的最小值为，此时|的最小值为.7答案：62.解析：因为xy，所以x2y，即4a2x2y2a2，同理可得xy2，即2xy，联立和，可以得到所以3x6y2a2462a26262，当且仅当2a2时，即a时等号成立，即3x6y的最小值是62.8答案：52.解析：因为3，所以mnm3n，又因为P为BE上一点，不妨设(01)所以()(1)，m3n(1)，因为，不共线，所以则m3n11.所以1(m3n)1552，当且仅当，即mn时等号成立
