1、1.2.4二面角(教师独具内容)课程标准：1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.2.掌握求二面角的基本方法、步骤学法指导：二面角可以通过作二面角的平面角来求，但有时作平面角比较困难，这时利用向量法求二面角的平面角只需求出两个平面的法向量，然后经过简单运算即可，体现了向量的工具性教学重点：求二面角的常用方法教学难点：用向量法求二面角；两个平面的法向量的夹角与二面角的关系.在解决立体几何问题时，向量是一种很好的解题工具例如，空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面1，2的法向量分别为n1，n2，那么我们如何用向量法证明l1与l2，l1与1
2、，1与2的垂直关系呢？知识点一 二面角及其度量(1)二面角的定义平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.棱为l，两个面分别为，的二面角，记作l.(2)二面角的平面角在二面角l的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角.(3)二面角的大小二面角及其平面角的大小不小于0，不大于180.两个
3、平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0且不大于90的角的大小知识点二 用空间向量求二面角的大小如下图，n1，n2分别是平面1，2的一个法向量，设1与2所成角的大小为，则n1，n2或n1，n2.特别地，sinsinn1，n2.1二面角的平面角定义的理解(1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上(2)二面角的平面角的两边分别在二面角的两个半平面内(3)二面角的平面角的两条边与棱垂直，且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关2二面角的求法(1)定义法(2)三垂线定理法：A，过A作AB交平面于点B，在内作BOl于点O，连接AO，由三垂线定理知AOl，故AOB是二面角l的平面
4、角，如右图(3)用公式cos，其中S为射影面积，S为原图形面积(4)向量法：包括两类：在二面角的两个半平面内作垂直于棱的垂线，把问题转化为求两条垂线的方向向量的夹角建立空间直角坐标系，求出二面角两个半平面的法向量n1，n2，则n1，n2或其补角的大小为二面角的大小1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)二面角的大小范围是.()(2)二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小()(3)如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小相等()答案(1)(2)(3)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,
5、0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_.(2)平面的一个法向量n1(1,0,1)，平面的一个法向量n2(3,1,3)，则与所成的角是_.(3)若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是_.答案(1)(2)90(3)120题型一 利用定义法求二面角例1如图所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VAVBVCAB.求二面角AVBC的大小解如图，作AEVB于点E，连接EC，由VAAB可知E是VB的中点，又知VCBC，故ECVB.AEC是二面角AVBC的平面角设ABa，连接AC，在AEC中，AEECa，ACa，由余弦定理可知，cos
6、AEC，所求二面角AVBC的大小为arccos.二面角的求法(1)先作出二面角的平面角，方法有：定义法、垂面法、垂线法(2)证明所作出的角为二面角的平面角(3)通过解三角形等方法求出这个平面角的大小跟踪训练1如图，已知三棱锥PABC，PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，求二面角APBC的大小解如图，因为PA平面ABC，所以平面PAB平面ABC.作CDAB于D，则CD平面PAB.作DEPB于E，连接CE，则PBCE，所以CED就是二面角APBC的平面角在RtABC中，CD，在RtPAB中，DE，所以tanCED，即二面角APBC的大小为arctan.题型二 利用三垂线定理或其逆定理求二面
7、角例2如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1，D是CB延长线上一点，且BDBC，求二面角BADB1的大小解如图，过点B作BEAD，垂足为E，连接B1E.B1B平面ABC，BE为B1E在平面ABC内的射影，B1EAD.BEB1为二面角BADB1的平面角BCBD，BDAB.又ABC60，ABD120.ADB30.BEBDsinADB3.tanBEB1.BEB160.二面角BADB1的大小为60.用三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角是常用的一种方法其作法是在其中一个面内找一个特殊点作另一个面的垂线，过垂足作棱的垂线(或过这个特殊点作棱的垂线，连接两个垂足)，连接这个点和垂足，根
8、据三垂线定理或其逆定理得平面角跟踪训练2如图，S是ABC所在平面外一点，且SA平面ABC，ABBC，SAAB，SBBC，E是SC的中点，DESC交AC于D，求二面角EBDC的大小解SBBC，E为SC的中点，SCBE.由题设知，SCED，且EDEBE，SC平面BDE.SCBD.SA平面ABC，SABD.又SCSAS，BD平面SAC.EDC为二面角EBDC的平面角设SAa，则SBaBC.又ABBC，由三垂线定理，知SBBC，SC2a，在RtSAC中，又SAa，SCA30.故EDC60，即二面角EBDC的大小为60.题型三 利用向量法求二面角例3在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA
9、平面ABCD，且PAAB，E是PD的中点，求二面角EACD的大小解解法一：如图，以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz.设PAABa，ACb，连接BD，与AC交于点O，取AD中点F，连接AE，EF，EO，FO，则C(b,0,0)，B(0，a,0)，D(b，a,0)，P(0,0，a)，E，O，(b,0,0)0，又，0.EOF为二面角EACD的平面角cos，.二面角EACD的大小为45.解法二：建系如解法一，PA平面ABCD，(0,0，a)为平面ABCD的一个法向量又，(b,0,0)，设平面AEC的一个法向量为m(x，y，z)由得x0，yz.可取m(0,1,
10、1)，cosm，.二面角EACD的大小为45.用向量法求二面角的步骤(1)寻求平面，的法向量u，v；(2)利用公式cosu，v，求出法向量u，v的夹角；(3)根据u，v的方向，确定平面，所构成的二面角的大小：当u，v的方向如图所示时，；当u，v的方向如图所示时，.跟踪训练3如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC.(1)证明：DE平面ACD；(2)求二面角BADE的大小解(1)证明：由题意，得底面BCDE为直角梯形，因为DEBE1，CD2，所以BDBC.由AC，AB2，得AB2AC2BC2，即ACBC.又平面ABC平面BCDE，平面AB
11、C平面BCDEBC，AC平面ABC，所以AC平面BCDE，所以ACDE.又DEDC，ACDCC，所以DE平面ACD.(2)解法一：作BFAD，与AD交于点F，过点F作FGDE，与AE交于点G，连接BG，由(1)知DEAD，则FGAD.所以BFG是二面角BADE的平面角在直角梯形BCDE中，由CD2BC2BD2，得BDBC，又平面ABC平面BCDE，平面ABC平面BCDEBC，BD平面BCDE，所以BD平面ABC，所以BDAB.由于AC平面BCDE，得ACCD.在RtACD中，由DC2，AC，得AD.在RtAED中，由ED1，AD，得AE.在RtABD中，由BD，AB2，AD，得BF，AFAD.
12、所以GFED.在ABE，ABG中，利用余弦定理分别可得cosBAE，BG.在BFG中，cosBFG.所以BFG，即二面角BADE的大小是.解法二：以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示由题意知各点坐标如下：D(0,0,0)，E(1，0,0)，C(0,2,0)，A(0,2，)，B(1,1,0)，则(0，2，)，(1，2，)，(1,1,0)，设平面ADE的一个法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABD的一个法向量为n(x2，y2，z2)，由得可取m(0,1，)由得可取n(1，1，)于是|cosm，n|.由图可知，所求二面角是锐角，故二面角BADE的大小
13、是.题型四 空间角中的探索性问题例4如右图，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BECF，BCFCEF90，AD，EF2.(1)求证：AE平面DCF；(2)当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60？解如右图，以C为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴和z轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz.设ABa，BEb，CFc，则C(0,0,0)，A(，0，a)，B(，0,0)，E(，b,0)，F(0，c,0)(1)证明：(0，b，a)，(，0,0)，(0，b,0)，0，0，从而CBAE，CBBE.又AEBEE，CB平面ABE.CB平面DCF，平面ABE平面DCF.又AE平面ABE，故AE平
14、面DCF.(2)(，cb,0)，(，b,0)，且0，|2，得b3，c4.E(，3,0)，F(0,4,0)设n(1，y，z)与平面AEF垂直，则n0，n0，即解得n(1，)又BA平面BEFC，(0,0，a)，|cosn，|，解得a或a(舍去)当AB时，二面角AEFC的大小为60.求解探索性问题的基本策略：首先，用参数设出题中的数学对象；其次，构建空间直角坐标系；再次，利用空间向量法把探索性问题转化为求参数是否有解问题；最后，解方程，下结论利用上述解题策略，可使此类探索性难题变为常规问题跟踪训练4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD.(1)求证：ABPD；(2)若
15、BPC90，PB，PC2，问：AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值解(1)证明：因为ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD，故ABPD.(2)过点P作POAD于点O.则PO平面ABCD，过点O作OMBC于点M，连接PM，则PMBC.因为BPC90，PB，PC2，所以BC，PM，设ABt，则在RtPOM中，PO，所以VPABCDt ，所以当t2，即t时，VPABCD最大为.如图，此时POAB，且PO，OA，OM两两垂直，以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴
16、的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.则P，D，C，B.所以，.设平面PCD的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则即令x11，则m(1,0，2)，|m|；同理设平面PBC的一个法向量为n(x2，y2，z2)，即令y21，则n(0,1,1)，|n|，设平面PBC与平面DPC的夹角为，所以cos.即平面PBC与平面DPC夹角的余弦值为.1已知二面角l的大小为60，b和c是两条异面直线，且b，c，则b与c所成角的大小为()A120 B90 C60 D30答案C解析二面角l的大小为60，b和c是两条异面直线，且b，c，b与c所成的角的大小为60.故选C.2如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABC
17、DA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成的锐二面角的正弦值为()A. B C D答案C解析以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A(1，0,0)，E，D1(0，0,1)，(1，0,1)，.设平面AEFD1的一个法向量为n(x，y，z)，则x2yz.取y1，则n(2,1,2)又平面ABCD的一个法向量为u(0,0,1)，cosn，u，sinn，u.3(多选)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列四个结论正确的为()AACBDBAB，CD所成的角为60CADC为等边三角形DAB与平面BCD所成的角为60答案
18、ABC解析对于A，如图，取BD的中点O，连接AO，CO，易知BD垂直于平面AOC，故BDAC，A正确；对于B，如图，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为a，则A，B，故，又C，D，故，由两向量夹角公式，得cos，故两异面直线所成的角为60，B正确；对于C，在RtAOC中，由AOCOa，AOCO，得ACAOa，故ADC为等边三角形，C正确；对于D，易知ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得ABO45，D错误故选ABC.4平面的法向量n1(1,0，1)，平面的法向量n2(0，1,1)，则平面与所成二面角的大小为_.答案或解析由题意得cosn1，n2，设平面与所成二面角的大小为，则cos或.
19、所以或.5如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，AQABPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值解如图，以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.(1)证明：设PD2，依题意有D(0,0,0)，Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则D(1,1,0)，D(0,0,1)，P(1，1，0)所以PD0，PD0，即PQDQ，PQDC.又DQDCD，所以PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)依题意有B(1,0,1)，C(1,0,0)，B(1,2，1)设n(x，y，z)是平
20、面PBC的一个法向量，则即因此可取n(0，1，2)同理，设m是平面PBQ的一个法向量，则可取m(1,1,1)所以cosm，n.故二面角QBPC的余弦值为.A级：“四基”巩固训练一、选择题1一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角的大小关系是()A相等 B互补C相等或互补 D不能确定答案D解析当一个二面角的棱垂直于另一个二面角的一个半平面时，这两个二面角的大小关系是不能确定的2已知二面角AB的平面角是锐角，内一点C到的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tan的值等于()A. B C D答案C解析如图，作CH于点H，HMAB于点M，连接CM，由三垂线定理，可得ABCM，
21、所以CMH就是二面角AB的平面角又CH3，CM4，所以HM，即tan.3将等腰直角ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得BAC60，那么这个二面角的大小是()A30 B60 C90 D120答案C解析如图，设等腰直角ABC中ABACa，则BCa，BDCDa，等腰直角ABC斜边BC上的高是AD，BDAD，CDAD，BDC是二面角BADC的平面角，连接BC，BAC60，BCa，BD2CD2BC2，BDC90，二面角BADC的大小是90.故选C.4如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCDA1B1C1D1为长方体，AA1AB2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，则二面角B1A1
22、BE的余弦值为()A B C D答案C解析设AD1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为E，F分别为C1D1，A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以(1,1,0)，(0,2，2)，设m(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则所以所以取x1，则yz1，所以平面A1BE的一个法向量为m(1,1,1)，又DA平面A1B1B，所以(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cosm，又二面角B1A1BE为锐二面角，所以二面角B1A1BE的余弦值为，故选C.5(多选)如图，已知平面内有一个以AB为直径的圆，PA，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，
23、PB上的射影，则()AADE为二面角APCB的平面角BBAC为二面角BPAC的平面角CAED为二面角APBC的平面角DACB为二面角APCB的平面角答案BC解析因为PA，AC，AB，BC，所以PAAB，PAAC，PABC，所以BAC为二面角BPAC的平面角，故B正确；又ACBC，PAACA，所以BC平面PAC，所以ADBC，又ADPC，所以AD平面PBC.又PBAE，所以PBDE，即AED为二面角APBC的平面角，故C正确二、填空题6若分别与一个二面角的两个面平行的向量m(1，2,0)，n(1,0，2)，且m，n都与二面角的棱垂直，则二面角的正弦值为_.答案解析设二面角的平面角为，则|cos|
24、cosm，n|，sin.7ABC是正三角形，P是ABC所在平面外一点，PAPBPC，若SPABSABC，则二面角PABC的大小为_.答案60解析设二面角PABC的平面角为，由于PAPBPC，则P在面ABC内的射影O为ABC的中心SOABSABC，又SPABSABC.cos.60.8在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD1，则二面角BACD的余弦值为_.答案解析如图，取AC的中点O，连接BO，DO，则DOAC，BOAC，BOD便是二面角BACD的平面角在RtCDO中，ODC30，CD1，DOC90，DO，同理BO，又BD1，由余弦定理，得cosBOD.三、解
25、答题9如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD，E为棱AD的中点，PACD.(1)证明：CD平面PAD；(2)若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值解(1)证明：ADC90，CDAD，又PACD，PAADA，CD平面PAD.(2)CD平面PAD，PDA为二面角PCDA的平面角，PDA45.如图，以A为坐标原点，的方向分别为x轴和z轴的正方向，垂直于AD的直线为y轴，建立空间直角坐标系Axyz，设BC1，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，E(1,0,0)，C(2,1,0)，(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2)设平面PCE的一个
26、法向量为n(x，y，z)，则取x2，则n(2，2,1)为平面PCE的一个法向量设直线PA与平面PCE所成的角为，则sin|cosn，|，直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.10.如图，四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1底面ABCD，且BAD60，CDCC12C1D14，E是棱BB1的中点 (1)求证：AA1BD；(2)求二面角EA1C1C的余弦值解(1)证明：因为CC1底面ABCD，所以CC1BD.因为底面ABCD是菱形，所以BDAC.由四棱台ABCDA1B1C1D1知，A1，A，C，C1四点共面又ACCC1C，所以BD平面ACC1.所以AA1BD.(2)如图，设A
27、C与BD交于点O，连接OA1，依题意得，A1C1OC且A1C1OC，所以四边形A1OCC1是平行四边形，所以A1OCC1，且A1OCC1.所以A1O底面ABCD.以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系则A(2，0,0)，A1(0,0,4)，C1(2，0,4)，B(0,2,0)，由得，B1(，1,4)因为E是棱BB1的中点，所以E.所以，(2，0,0)设平面EA1C1的一个法向量为n1(x，y，z)，则即取z3，则n1(0,4,3)为平面EA1C1的一个法向量又n2(0,1,0)为平面AA1C1C的一个法向量，所以cosn1，n2，由图可知，二面角EA1C1C为锐
28、二面角，所以二面角EA1C1C的余弦值为.B级：“四能”提升训练1如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1ABAC1，且ABAC，点M是CC1的中点，点N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足.(1)证明：PNAM；(2)当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？求此时二面角ABCP的余弦值解(1)证明：以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则P(，0,1)，N，M，从而，0110，所以PNAM.(2)过点P作PEAB于点E，连接EN.则PE平面ABC，则PNE为所求角，所以tan，因为当点E是AB的中点时，ENmin.所以
29、(tan)max2，则有最大值，此时，.则P，B(1,0,0)，C(0,1,0)，所以，(1,1,0)设平面PBC的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x2，得n(2,2,1)，又(0,0,1)为平面ABC的一个法向量，所以cosn，由图知，二面角ABCP为锐角，所以二面角ABCP的余弦值为.2如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值解解法一：依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得
30、B(1，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)(1)证明：向量(0,1,1)，(2,0,0)，故0.所以BEDC.(2)向量(1,2,0)，(1,0，2)设n(x，y，z)为平面PBD的一个法向量则即不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量于是有cosn，.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)向量(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由点F在棱PC上，设，01.故(12，22，2)由BFAC，得0，因此，2(12)2(22)0，解得.即.设n1(x1，y1，z1)为平面FAB的一
31、个法向量，则即不妨令z11，可得n1(0，3,1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的一个法向量n2(0,1,0)，则cosn1，n2.易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.解法二：(1)证明：如图，取PD的中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EMDC，且EMDC，又由已知，可得EMAB且EMAB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BEAM.因为PA底面ABCD，所以PACD，又CDDA，PADAA，所以CD平面PAD，因为AM平面PAD，于是CDAM，又BEAM，所以BEDC.(2)连接BM，由(1)有CD平面PAD，所以CDPD，又EMCD，所以PDEM.又
32、因为ADAP，M为PD的中点，所以PDAM，可得PDBE，又EMBEE，所以PD平面BEM，又PD平面PBD，所以平面BEM平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，又BEEM，所以EBM为锐角，故EBM为直线BE与平面PBD所成的角依题意，有PD2，PAAD，因为M为PD的中点，所以AM，所以BE.故在直角三角形BEM中，tanEBM，所以sinEBM.所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)如图，在PAC中，过点F作FHPA交AC于点H，连接BH.因为PA底面ABCD，所以FH底面ABCD，所以FHAC.又BFAC，FHBFF，所以AC平面FHB，所以ACBH.在底面ABCD内，可得CH3HA，所以CF3FP.在平面PDC内，作FGDC交PD于点G，连接AG，于是DG3GP.因为DCAB，所以GFAB，所以A，B，F，G四点共面因为ABPA，ABAD，PAADA，所以AB平面PAD，所以ABAG.所以PAG为二面角FABP的平面角在PAG中，PA2，PGPD，APG45，由余弦定理可得AG，cosPAG.所以，二面角FABP的余弦值为.
