1、命题点13数列的通项与求和12023全国甲卷记Sn为数列an的前n项和，已知a21，2Snnan.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.解：22022新高考卷记Sn为数列的前n项和，已知a11，是公差为的等差数列(1)求的通项公式；(2)证明：1.令bn，记Sn，Tn分别为数列an，bn的前n项和(1)若3a23a1a3，S3T321，求an的通项公式；(2)若bn为等差数列，且S99T9999，求d.解：42023辽宁丹东模拟记Sn为数列an的前n项和，已知a15，nan1Sn1.(1)求an的通项公式；(2)证明：Sn20.解：52023山东省实验中学模拟已知两个正项数列an
2、，bn满足(anbn)bn1，.(1)求an，bn的通项公式；(2)若数列cn满足cnanan1bn，其中x表示不超过x的最大整数，求cn的前n项和Sn.解：62023河北保定模拟数列an的前n项和为Sn满足2Sn3an3.(1)求数列an的通项公式；(2)已知数列bn满足bn3n，在数列bn中清除掉属于数列an的项，并且把剩余的项从小到大排列，构成新数列cn，求数列cn的前100项和T100.解：命题点13数列的通项与求和(大题突破)1解析：(1)当n1时，2S1a1，即2a1a1，所以a10.当n2时，由2Snnan，得2Sn1(n1)an1，两式相减得2annan(n1)an1，即(n1
3、)an1(n2)an，当n2时，可得a10，故当n3时，则，整理得n1，因为a21，所以ann1(n3).当n1，n2时，均满足上式，所以ann1.(2)令bn，则Tnb1b2bn1bn，Tn由得Tn1，即Tn2.2解析：(1)a11，1.又是公差为的等差数列，(n1)，即Sn(n)an(n2)an，当n2时，Sn1(n1)an1，anSnSn1(n2)an(n1)an1，n2，即(n1)an(n1)an1，n2，n2，当n2时，an.当n1时，a11满足上式，an.(2)证明：由(1)知an，2()，2(1)2(1).nN*，0，11，2(1)2，2.3解析：(1)因为3a23a1a3，所以
4、3(a2a1)a12d，所以3da12d，所以a1d，所以annd.因为bn，所以bn，所以S36d，T3b1b2b3.因为S3T321，所以6d21，解得d3或d，因为d1，所以d3.所以an的通项公式为an3n.(2)因为bn，且bn为等差数列，所以2b2b1b3，即2，所以，所以a3a1d2d20，解得a1d或a12d.当a1d时，annd，所以bn，S999950d，T99.因为S99T9999，所以9950d99，即50d2d510，解得d或d1(舍去).当a12d时，an(n1)d，所以bn，S999951d，T99.因为S99T9999，所以9951d99，即51d2d500，解
5、得d(舍去)或d1(舍去).综上，d.4解析：(1)当n2，nN*时，由nan1Sn1(n1)anSn11，两式相减，得an1an1.所以数列an从第三项起，每一项与前一项的差为1，因为a15，所以a2S11a25115，所以当n2，nN*时，an5(n2)(1)7n，显然a15不适合，故an.(2)证明：因为a150，a250，数列an从第三项起，每一项与前一项的差为1，所以当n2，nN*时，数列an是单调递减数列，当an7n0n7，所以当n6，7时，Sn有最大值，最大值为55432120，所以Sn20.5解析：(1)由，得anbnn21，由(anbn)bn1，得anbn1b，bn2，因为b
6、n是正项数列，bnn，ann.(2)因为，所以cnbn，所以当n2时Sn5710(3n1)5(3n25n2)，当n1时S15满足Sn(3n25n2)，所以Sn(3n25n2).6解析：(1)在2Sn3an3中令n1，得a13，2Sn3an3，当n1时，2Sn13an13，两式相减得2an3an3an1，an3an1，数列an是以3为首项，以3为公比的等比数列，an3n.(2)bn3n，数列an中的项都在数列bn中数列an前5项：3，9，27，81，243，在数列bn前105项中，这五项和为363，数列bn前105项为3，6，9，27，81，243，315，它们的和为105310552316695，所以数列cn的前100项和为数列bn前105项的和减去3，9，27，81，243的和，得：105310552336316332.
