1、高三数学考试卷(理科)第卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则（ ）A B C D2. 已知复数,是它的共轭复数,则（ ）A B C D3. 如图,在正六边形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）A B C. D4. 已知点是函数 的图象上的两个点,若将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则函数的图象的一条对称轴的方程为（ ）A B C. D5.设数列得前项和为，若，则（ ）A B C. D6. 孙子算经中有一道题:“今有木不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳开始度之,不足一尺,木长几何
2、?”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余尺;将绳子对折再量木条,木条剩余尺,问木条长多少尺?解决本题的程序框图如图所示,则输出的（ ）A B C. D7. 如图为一个半圆柱, 是等腰直角三角形, 是线段的中点, ,该半圆柱的体积为,则异面直线与所成角的正弦值为（ ）A B C. D8. 函数的部分图象大致是（ ）A B C. D9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）A B C. D10. 在平面直角坐标系中,已知三点,为坐标原点若向量与在向量方向上的投影相等,则的最小值为( )A B C. D11. 已知椭圆,作倾斜角为的直线交椭圆于两点,线段的中点为为坐标原点与
3、的夹角为,且，则( )A B C. D12.若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上.13. 设实数满足约束条件,则的最大值为 14.在的展开式中，含项的系数是 15. 设数列对都满足，且，则 16. 设分别是双曲线的左右焦点, 为过的弦(在双曲线的同一支上),若,则此双曲线的离心率为 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. 17. 已知的内角的对于边分别为,且.
4、(1)求；(2)若,线段的垂直平分线交于点,求的长.18. 某大型高端制造公司为响应中国制造2025中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年512月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：（1)根据数据可知与之间存在线性相关关系(i)求出关于的线性回归方程(系数精确到);(ii)若2018年6月份研发投人为25百万元,根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；（2）为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以(单位:万台)表示日销量, ,则每位员工每日奖励元；,则每位员工每日奖励元；,则每位员工
5、每日奖励元现已知该公司9月份日销量 (万台)服从正态分布,请你计算每位员工当月(按天计算)获得奖励金额总数大约多少元.参考数据: ，.参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为: ，.若随机变量服从正态分布,则 .19.如图,在三棱柱中,四边形是矩形, ,平面平面.(1)证明: ；(2)若, ，求二面角的余弦值.20. 设是坐标原点, 是抛物线的焦点, 是该抛物线上的任意一点,当与轴正方向的夹角为时, .(1)求抛物线的方程；(2)已知,设是该抛物线上的任意一点, 是轴上的两个动点,且，,当计取得最大大值时，求的面积. 21. 已知函数.(1)若,曲线在点处的切线在两坐
6、标轴上的截距之和为,求的值；(2)若对于任意的及任意的,总有成立,求的取值范围.（二）选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,已知倾斜角为的直线经过点.以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出曲线的普通方程;(2)若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲知函数.(1)当时,求的解集;(2)已知，若对于,都有成立,求的取值范围.高三数学考试卷参考答案(理科)1.C【解析】本题考查集合的补集、交集运算,考查运算求解能力.因为,所以.2
7、.A【解析】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力.因为,所以.3.D【解析】本题考查几何概型,考查运算求解能力和应用意识.设正六边形的边长为,与的交点为,易知,所以,所求的概率为.4.A【解析】本题考查三角函数的图象及其性质,考查运算求解能力.因为,所以.由，得，所以.又,将选项代入验证可知是一条对称轴方程.5.C【解析】本题考查等差数列的求和公式,考查化归与转化的思想.因为,所以,而当时, ,两式相减得，所以, 从第二项起构成公比为的等比数列，.6.D【解析】本题考查数学文化以及程序框图问题,考查运算求解能力.输出.7.B【解析】本题考查异面直线所成的角的知识,考查空间想象能力和运算求解
8、能力.设上底半圆的半径为,由,得.因为,所以.又异面直线与所成的角为所以.8.C【解析】本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力.因为,所以是奇函数,排除.当时, ,所以；当时, ，,所以.9.A【解析】本题考查三视图以及简单几何体的体积与表面积,考查空间想象能力和运算求解能力.该几何体的形状如图所示，于是， ， ，所以表面积.10.B【解析】本题考查平面向量的坐标运算以及投影问题,考查运算求解能力.因为向量与在向量市方向上的投影相同,所以，,即点在直线上的最小值为原点到直线的距离的平方,因为，所以的最小值为.11.B【解析】本题考查椭圆的性质,考查推理论证和运算求解能力设,M,则，两式作差
9、得.因为,所以.即.设直线的倾斜角为，则或，.又,由，解得,即.12.D【解析】本题考查导数与极值问题,考查转化与化归、函数与方程的数学思想以及运算求解能力和推理论证能力.因为,所以.令,得,再令,因为函数在上恰有两个极值点,所以有两个零点.又，令，得,所以；令，得，所以函数在上单调递增,在上单调递减.由于,根据数形结合法可得,即.13. 【解析】本题考查线性规划问题,考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.作出约束条件表示的可行域,当直线过点时, 取得最大值.14. 【解析】本题考查二项式定理的应用,考查运算求解能力.，依题意有.15.【解标】本题考查等差数列的前项和的计算以及用裂项法求和的
10、方法.因为,且,则,那么, ，因此 .所以 .16. 【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的定义和性质,考查运算求解能力和化归与转化的思想.因为,所以.设,则,，两式相加并化简得,即.又,所以.由得,从而.17.解:(1) 因为 ,所以.由余弦定理得 ，又，所以.（2）由（1）知,根据余弦定理可得，所以.由正弦定理得，即，解得.从而.设的中垂线交于点,因为在中, ，所以，因为为线段的中垂线，所以.18解:(1)(i)因为,所以，所以关于的线性回归方程为.(ii)当时, (万台).（注:若，当时, (万台). (2)由题知月份日销量 (万台)服从正态分布,则, ,日销量的概率为,日销
11、量的概率为，日销量的概率为，所以每位员工当月的奖励金额总数为元.19. (1)证明: 在三棱柱中,，.又.平面.设与相交于点,与相交于点,连接，四边形与均是平行四边形，,平面，是平面与平面所成其中一个二面角的平面角.又平面平面,四边形是菱形,从而.(2)解:由(1)及题设可知四边形是菱形, ，.以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,，.设平面的法向量，即令,可得.又由(1)可知平面,可取平面的法向量为，。由图可知二面角的平面角为锐角,所以它的余弦值为.20.解：（1）设 ，则由抛物线的定义得.当与轴正方向的夹角为时, ,即.又,所以,抛物线的方程为.(2)因为,所以点在线段的中垂线上，设
12、,则，所以，所以.当且仅当时等号成立,此时.所以.21.解:(1)因为,所以,.又因为切点坐标为,所以切线方程为.令,得；令，得.由，化简得，解得或,又,所以.(2)不妨设,由(1)知, ,所以为增函数,从而.所以等价于，即，所以.设,则,所以在上为单调递增函数，因此,对于恒成立，所以,即对于恒成立.设，则，所以在上单调递增, ，因此, ,即.22.解:(1)由得.将，代入上式中,得曲线的普通方程为.(2)将的参数方程 (为参数)代入的方程,整理得.因为直线与曲线有两个不同的交点，所以,化简得.又,所以，且.设方程的两根为,则，所以,所以.由，得，所以,从而，即的取值范围是.23.解:当时等价于,因为，所以或，或，解得或,所以解集为或.(2)当，且时, ，所以,即.又的最大值必为之一,所以，即，解得，所以的取值范围为.
