1、2.2直线与圆的位置关系学 习 任 务核 心 素 养1掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离(重点)2会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系(难点)3会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题(难点)通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直线与圆有几种位置关系？知识点直线与圆的三种位置关系及判定位置关系相离相切相交图示公共点个数零个一个两个判定方
2、法几何法：设圆心到直线的距离d比较d与r的大小drdrdr代数法：由依据方程组解的情况方程组无解方程组只有一组解方程组有两组不同解用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断()(2)过圆外一点作圆的切线有两条()(3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离()(4)若直线与圆有公共点
3、，则直线与圆相交或相切()答案(1)(2)(3)(4)2直线3x4y50与圆x2y21的位置关系是()A相交B相切C相离D无法判断B圆心(0，0)到直线3x4y50的距离d1 dr，直线与圆相切故选B3设A，B为直线yx与圆x2y21的两个交点，则|AB|()A1BCD2D直线yx过圆x2y21的圆心C(0，0)，则|AB|2 类型1直线与圆的位置关系【例1】已知直线方程mxym10，圆的方程x2y24x2y10当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点解法一：将直线mxym10代入圆的方程化简整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m404m(3
4、m4)，(1)当0时，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当0时，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当0时，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点法二：已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为C(2，1)，半径r2圆心C(2，1)到直线mxym10的距离d(1)当d0或m2时，即m1，所以点A在圆外，故切线有两条若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)，即kxy4k30设圆心为C，因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k所以切线方程为xy30，即15x8
5、y360若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x4的距离为1，这时直线x4与圆相切，所以另一条切线方程为x4综上，所求切线方程为15x8y360或x4圆的切线方程的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程yy0或xx0(2)点在圆外时几何法：设切线方程为yy0k(xx0)由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由0求出k，可得切线方程提醒：切线的斜率
6、不存在的情况，不要漏解跟进训练2若圆C：x2y22x4y30关于直线2axby60对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值为_4因为圆C：x2y22x4y30关于直线2axby60对称，所以圆心C(1，2)在直线2axby60上，所以2a2b60，即ab3又圆的半径为，当点(a，b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a，b)与圆心的距离为3，所以切线长的最小值为4 类型3直线与圆相交问题【例3】(1)求直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长|AB|(2)过点(4，0)作直线l与圆x2y22x4y200交于A，B两点，如果|AB|8，求直线l的方程1若直线与圆交于
7、两点A，B，连接AB的中点M和圆心C，则在直角三角形ACM中，应用勾股定理可得到什么？提示AB24AM24(AC2CM2)2在问题1中如何表示CM的长？提示应用圆心到直线的距离解(1)联立直线l与圆C的方程，得解得所以交点为A(1，3)，B(2，0)故直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长|AB|(2)将圆的方程配方得(x1)2(y2)225，由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d3当直线l的斜率不存在时，x4满足题意；当直线l的斜率存在时，设l的方程为yk(x4)，即kxy4k0由点到直线的距离公式，得3，解得k，所以直线l的方程为5x12y200综上所述，直线l的方程为x40或
8、5x12y200求弦长常用的三种方法(1)利用圆的半径r、圆心到直线的距离d、弦长l之间的关系d2r2解题(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长(3)利用弦长公式，设直线l：ykxb，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l|x1x2|跟进训练3直线m：xy10被圆M：x2y22x4y0截得的弦长为()A4B2CDBx2y22x4y0，(x1)2(y2)25，圆M的圆心坐标为(1，2)，半径为，又点(1，2)到直线xy10的距离d，直线m被圆M截得的弦长等于22故选B 类型4直线与
9、圆位置关系的综合【例4】一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？思路探究先以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后把此实际问题转化为代数问题来解决解以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2y29及其内部，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l
10、的方程为1，即4x7y280圆心(0，0)到直线4x7y280的距离d，而半径r3，因为dr，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤(1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；(3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去跟进训练4如图所示，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，则水面下降1米后，水面宽度为()A14米B15米C米D2米D以圆弧
11、形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，2)，设圆的半径长为r，则C(0，r)，则圆的方程为x2(yr)2r2将点A的坐标代入上述方程，可得r10，所以圆的方程为x2(y10)2100，当水面下降1米后，水面所在弦的端点为A，B，可设A(x0，3)(x00)，代入x2(y10)2100，解得x0，水面宽度|AB|2米1直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是()A过圆心B相切C相离D相交但不过圆心D圆心坐标为(1，1)，圆心到直线3x4y
12、120的距离为dr3又点(1，1)不在直线3x4y120上，所以直线与圆相交且不过圆心选D2过点P(0，1)的直线l与圆(x1)2(y1)21相交于A，B两点，若|AB|，则该直线的斜率为()A1BCD2A由题意设直线l的方程为ykx1，因为圆(x1)2(y1)21的圆心为(1，1)，半径为r1，又弦长|AB|，所以圆心到直线的距离为d，所以有，解得k13若直线x2y0与圆(x4)2y2r2(r0)相切，则r()AB5CD25C设圆心到直线的距离为d，则d由直线与圆相切可得r故选C4过点A(1，4)作圆C：(x2)2(y3)21的切线l，则切线l的方程为_y4或3x4y130设切线l的方程为y
13、4k(x1)，即kxyk40d1，4k23k0，解得k0或k故切线l的方程为y4或3x4y1305已知圆C经过点A(2，0)，B(1，)，且圆心C在直线yx上(1)求圆C的方程；(2)过点的直线l截圆C所得弦长为2，求直线l的方程解(1)AB的中点坐标，AB的斜率为可得AB垂直平分线方程为2x6y0，与xy0的交点为(0，0)，圆心坐标(0，0)，半径为2，所以圆C的方程为x2y24(2)直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过，直线l的方程为yk(x1)，即ykxk，则圆心(0，0)到直线的距离d，又圆的半径r2，截得的弦长为2，则有()24，解得k，则直线l的方程为yx当直线的斜率不存在时，直线方程为x1，满足题意直线l的方程为x1或yx回顾本节知识，自我完成以下问题：1判断直线与圆的位置关系有几种方法提示(1)几何法； (2)代数法； (3)直线系法2常用的求弦长的方法有哪些？提示(1)d2r2；(2)求出直线和圆的交点坐标，用两点间距离公式计算弦长
