1、4一元二次函数与一元二次不等式41一元二次函数新课程标准解读核心素养1.掌握一元二次函数的图象及图象变换直观想象2.会求一元二次函数的最值及相关问题数学运算某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为yx2x.问题(1)此函数是一元二次函数吗？(2)当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？知识点一一元二次函数的图象变换1抛物线通常把一元二次函数的图象叫作抛物线2一元二次函数的图象变换一元二次函数ya(xh)2k的图象可以由yax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到一元二次函数图象变换一元二次函
2、数ya(xh)2k(a0)，a决定了函数图象的开口大小及方向；h决定了函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移” 知识点二一元二次函数的性质一元二次函数ya(xh)2k(a0)有如下性质：(1)函数ya(xh)2k的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线xh；(2)当a0时，抛物线开口向；在区间(，h上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间h，)上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在xh处有最小值，记作ymin当a0时，抛物线开口向；在区间(，h上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间h，)上，函数值y随自变
3、量x的增大而减小；函数在xh处有最大值，记作ymax1已知某一元二次函数的图象与函数y2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(1，3)，则此函数的解析式为()Ay2(x1)23By2(x1)23Cy2(x1)23 Dy2(x1)23解析：选D设所求函数的解析式为y2(xh)2k，根据顶点为(1，3)，可得h1，且k3，故所求的函数解析式为y2(x1)23，故选D.2如果将一元二次函数ya(xm)2n的图象向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的函数图象的对称轴为x3，最大值为1，则m，n的值为()A. BC. D.解析：选D由题意知，变换后所得函数的解析式为ya(x3)2
4、1，且a0，然后将函数ya(x3)21的图象先向上平移2个单位长度，得到函数ya(x3)23，再将所得函数图象向左平移2个单位长度，可得到函数ya(x1)23的图象，因此故选D.一元二次函数解析式的求法例1已知一元二次函数的最大值是8，且当x2时，y1；当x1时，y1.求此一元二次函数的解析式解法一(利用一般式)：设yax2bxc(a0)由题意得解得所求一元二次函数的解析式为y4x24x7.法二(利用顶点式)：设ya(xm)2n.当x2时，y1，且x1时，y1.抛物线的对称轴为x.m.又根据题意知函数有最大值8，n8.ya8.又抛物线过点(2，1)，a81，解得a4，y484x24x7.求一元
5、二次函数解析式时，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求一元二次函数为一般式yax2bxc，a，b，c为常数，a0的形式；(2)若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求一元二次函数为顶点式ya(xh)2k(其中顶点(h，k)，a为常数，a0)；(3)若已知一元二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设所求一元二次函数为两根式ya(xx1)(xx2)(a为常数，且a0) 跟踪训练根据下列条件，求一元二次函数的解析式：(1)过点(1，1)，(0，2)，(3，5)；(2)图象顶点为(1
6、，2)并且过点(0，4)；(3)图象过点(2，0)，(4，0)，(0，3)解：(1)设函数解析式为yax2bxc，由题设知函数解析式为yx22x2.(2)设所求函数解析式为ya(x1)22.整理得yax22axa2，a24，a2.解析式为y2x24x4.(3)设所求函数解析式为ya(x2)(x4)，整理得yax26ax8a，8a3，a.解析式为y(x2)(x4).一元二次函数图象间的变换例2(链接教科书第33页例1)抛物线y2(x1)23可以看作是由抛物线y2x2经过以下哪种变换得到的()A向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度B向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度C向左平移1个
7、单位长度，再向下平移3个单位长度D向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度解析抛物线y2(x1)23顶点坐标为(1，3)，抛物线y2x2顶点坐标为(0，0)，抛物线y2(x1)23可以看作由抛物线y2x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的答案B一元二次函数图象平移问题的解题策略(1)要注意平移的方向，即由哪个函数变换到另一个函数；(2)将函数化为ya(xh)2k(a0)的形式；(3)判定h与k的正负，利用“左加右减，上加下减”的规则判定平移的方向和大小 跟踪训练将抛物线yx26x21向左平移2个单位长度后，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式为()Ay(x8)25B
8、y(x4)25Cy(x8)23 Dy(x4)23解析：选B抛物线yx26x21(x6)23，它的顶点坐标是(6，3)将其向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标(4，5)，所以新抛物线的解析式是y(x4)25.一元二次函数的最值问题例3(链接教科书第33页练习1题)(1)求函数yx23x7(xR)的最小值；(2)在区间2，3上，求函数yx23x7的最大值与最小值解(1)由yx23x7，xR，当且仅当x时，ymin.(2)由(1)知，该函数的对称轴为直线x2，3，图象开口向上，在区间2，3上，函数值y随x的增大而增大，函数在区间2，3上，函数在x3处取最大值，即yma
9、x7，在x2时取最小值，即ymin9.母题探究(变条件)若本例 (2)条件变为x1，3，求函数的最大值与最小值解：由函数的对称轴为直线x1，3，图象开口向上，当x时，函数取得最小值，ymin，函数在上函数值y随x的增大而减小，在上函数值y随x的增大而增大当x3时，ymax7.求一元二次函数在闭区间上的最值的方法一看开口方向；二看对称轴和区间的相对位置，简称“两看法” 跟踪训练一元二次函数yx22x5，当x取全体实数时，有()A最大值5B最小值5C最大值4 D最小值4解析：选C配方，得y(x1)24，所以当x1时，ymax4.一元二次函数的图象例4已知一元二次函数y2x24x6.(1)求此函数图
10、象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图象；(2)求此函数图象与x轴，y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积；(3)x为何值时，y0，y0，y0，函数图象开口向上，对称轴是直线x1，顶点坐标是(1，8)列表：x10123y06860描点并画图，得函数y2x24x6的图象，如图所示(2)由图象得，函数图象与x轴的交点坐标为A(1，0)，B(3，0)，与y轴的交点坐标为C(0，6)SABC|AB|OC|4612.(3)由函数图象知，当x3时，y0；当x1或x3时，y0；当1x3时，y0.观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置
11、决定的符号，另外还要注意与x轴的交点、函数的单调性等 跟踪训练如图是一元二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3，0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()ABC D解析：选B因为图象与x轴交于两点，所以b24ac0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1，2ab0，错误；结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确1已知函数yax2bx1(a0)的图象的对称轴是直线x1，并且函数的图象经过点A(1，7)，则a，b的值分别是()A2，4 B2，4C2
12、，4 D2，4解析：选C由题意，可得故选C.2将抛物线yx21先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的表达式为()Ay(x2)24 By(x2)22Cy(x2)24 Dy(x2)22解析：选D一元二次函数解析式为yx21，顶点坐标(0，1)将其顶点坐标向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新的顶点坐标为(2，2)，可设新函数的解析式为y(xh)2k，代入新的顶点坐标得y(x2)22.3下列一元二次函数的图象通过平移能与一元二次函数yx22x1的图象重合的是()Ay2x2x1 Byx22x1Cyx22x1 Dyx22x1解析：选B经过平移后能与一元二次函数yx22x1的图象重合，a1，观察选项，只有选项B符合题意4已知抛物线yx24x3，当0xm时，y的最小值为1，最大值为3，则m的取值范围为()A2，) B0，2C2，4 D(，4解析：选Cyx24x3(x2)21，当x2时，y取得最小值，最小值为1；当y3时，有x24x33，解得x10，x24，当x0或4时，y3.又当0xm时，y的最小值为1，最大值为3，2m4.5已知函数yx2mx1，在区间1，)上函数值y随自变量x的增大而增大，则实数m的取值范围为()A2，) B1，)C(，2 D(，1解析：选Ayx2mx1的图象的对称轴为直线x，由题意，可得1，解得m2，故选A.
