1、2015-2016学年河北省邯郸市成安一中、永年二中联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知数列ln3，ln7，ln11，ln15，则2ln5+ln3是该数列的（）A第16项B第17项C第18项D第19项2若ab0，则下列不等式中一定成立的是（）Aa+BaCD3ABC中，三边长a，b，c满足a3+b3=c3，那么ABC的形状为（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上均有可能4已知p：xR，x2x+10，q：x（0，+），sinx1，则下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq5若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30，此人往金字塔方向
2、走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45，则金字塔的高度最接近于（忽略人的身高） （参考数据1.732）（）A110米B112米C220米D224米6给出如下四个命题：若a0，b0，则；若ab0，则|a+b|a|+|b|；若a0，b0，a+b4，ab4，则a2，b2；若a，b，c，R，且ab+bc+ca=1，则（a+b+c）23；其中正确的命题是（）A，B，C，D，7已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为（）ABCD28下列四个结论：其中正确结论的个数是（）命题“xR，xlnx0”的否定是“x0R，x0lnx00”；命题“若xsinx=0，则x=0”的逆否命题为“
3、若x0，则xsinx0”；“命题pq为真”是“命题pq为真”的充分不必要条件；若x0，则xsinx恒成立A1个B2个C3个D4个9已知正项数列an中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an12（n2），则a6等于（）A16B8CD410已知ABC内接于单位圆，则长为sinA、sinB、sinC的三条线段（）A能构成一个三角形，其面积大于ABC面积的B能构成一个三角形，其面积等于ABC面积的C能构成一个三角形，其面积小于ABC面积的D不一定能构成三角形11等差数列an和bn的前n项的和分别为Sn和Tn，对一切自然数n都有，则=（）ABCD12已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值
4、若曲线y=xa过点P（，），则a的值为（）A1BC2D3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知公差不为0的等差数列an，其前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为14已知点（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的同侧，则a的取值范围是15若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是16下列4个命题：“如果x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题“如果x2+x60，则x2”的否命题在ABC中，“A30”是“sinA”的充分不必要条件“函数f（x）=tan（x+）为奇函数”的充要条件是“=k（kZ）”其中真命题的序号
5、是三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17解关于x的不等式（xa）（x）018已知p：x28x200；q：1m2x1+m2（）若p是q的必要条件，求m的取值范围；（）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围19已知an是首项为a1，公差为d的等差数列，Sn是其前n项的和，且S5=5，S6=3（）求数列an的通项an及Sn；（）设bn2an是首项为1，公比为3的等比数列求数列bn的通项公式及其前n项和Tn20已知函数f（x）=x22x8，g（x）=2x24x16，（1）求不等式g（x）0的解集；（2）若对一切x2，均有f（x）（m+2）xm15成立，求实
6、数m的取值范围21在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（）求角A的大小；（）若，求ABC面积的最大值22如图，在等腰直角三角形OPQ中，POQ=90，OP=2，点M在线段PQ上（1）若OM=，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且MON=30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值2015-2016学年河北省邯郸市成安一中、永年二中联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知数列ln3，ln7，ln11，ln15，则2ln5+ln3是该数列的（）A第16项B第17项C第18项D第19项【考
7、点】数列的概念及简单表示法【专题】等差数列与等比数列【分析】由数列3，7，11，15，可知此数列的通项公式可得an=3+4（n1）=4n1令2ln5+ln3=ln（4n1），解出即可【解答】解：由数列3，7，11，15，可知此数列的通项公式可得an=3+4（n1）=4n1令2ln5+ln3=ln（4n1），75=4n1，解得n=192ln5+ln3是该数列的第19选故选：D【点评】本题考查了等差数列的通项公式、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题2若ab0，则下列不等式中一定成立的是（）Aa+BaCD【考点】不等式的基本性质【专题】不等式的解法及应用【分析】根据不等式的性质进行判断即可【
8、解答】解：ab0，0，则a+0，故选：A【点评】本题主要考查不等关系的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键3ABC中，三边长a，b，c满足a3+b3=c3，那么ABC的形状为（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上均有可能【考点】三角形的形状判断【专题】计算题；解三角形【分析】依题意可知C为ABC中的最大角，且+=1；利用指数函数的单调性可证得，利用不等式的性质与余弦定理即可判断出答案【解答】解：a3+b3=c3，C为ABC中的最大角，且+=1；0ac，0bc，01，01，+=1，c2a2+b2，由余弦定理得：cosC=0，C为锐角ABC为锐角三角形故选A【点评】本题考查三角形形状的判
9、定，得到+=1是关键，也是难点，考查转化思想与创新思维能力，属于难题4已知p：xR，x2x+10，q：x（0，+），sinx1，则下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq【考点】复合命题的真假【专题】转化思想；综合法；简易逻辑【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出其复合命题的真假即可【解答】解：关于p：xR，x2x+1=+0，成立，故命题p是真命题，关于q：x（0，+），sinx1，x（0，+），sinx1，故命题q是假命题，故pq是真命题，故选：C【点评】本题考查了二次函数、三角函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题5若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30，此人往金字塔方向走
10、了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45，则金字塔的高度最接近于（忽略人的身高） （参考数据1.732）（）A110米B112米C220米D224米【考点】解三角形的实际应用【专题】计算题；解三角形【分析】利用CD表示出AD，BD，让QD减去BD等于80，即可求得CD长【解答】解：设CD=x，在RtACD中，A=30，AD=CDtan60=x，在RtCDB中，CBD=45，BD=x，AB=80米，xx=80x=40（+1）110米故选：A【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形6给出如下四个命题：若a0，b0，则；若ab0，则|a
11、+b|a|+|b|；若a0，b0，a+b4，ab4，则a2，b2；若a，b，c，R，且ab+bc+ca=1，则（a+b+c）23；其中正确的命题是（）A，B，C，D，【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题【分析】若a0，b0，利用基本不等式可得a2+b22ab，从而2（a2+b2）（a+b）2；若ab0，则|a+b|=|a|+|b|；取反例：a=5，b=1.5；利用基本不等式可得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac3（ab+bc+ca）=3【解答】解：若a0，b0，则a2+b22ab，2（a2+b2）（a+b）2，故正确；若ab0，则|a+b|=|a|+|b|，故不正
12、确；若a0，b0，a+b4，ab4，取a=5，b=1.5，结论不成立，故不正确；若a，b，c，R，且ab+bc+ca=1，则（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac3（ab+bc+ca）=3，故正确综上知，正确的命题是，故选B【点评】本题考查命题真假判断，考查不等式知识，解题的关键是正确运用基本不等式，同时注意反例的列举7已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为（）ABCD2【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合【分析】本题处理的思路为：根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最值，即可求解比值【解答】解：约束条件
13、对应的平面区域如下图示：当直线z=2x+y过A（2，2）时，Z取得最大值6当直线z=2x+y过B（1，1）时，Z取得最小值3，故z=2x+y的最大值与最小值的比值为：2故选D【点评】本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数的最值8下列四个结论：其中正确结论的个数是（）命题“xR，xlnx0”的否定是“x0R，x0lnx00”；命题“若xsinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x0，则xsinx0”；“命题pq为真”是“命题pq为真”的充分不必要条件；若x0，则xsinx恒成立A1个B2个C3个D4个【考点】复合命题的真假；命题的否定【专题】简易逻辑【分析】
14、利用命题的否定定义即可判断出真假；利用逆否命题的定义即可判断出真假；利用复合命题真假的判定方法、充要条件的判定方法即可判断出真假；若x0，令f（x）=xsinx，则f（x）=1cosx0，即可函数f（x）在（0，+）上的单调性，即可判断出真假【解答】解：命题“xR，xlnx0”的否定是“x0R，x0lnx00”，正确；命题“若xsinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x0，则xsinx0”，正确；“命题pq为真”，则p与q中至少有一个为真命题，取p真q假时，“命题pq为真”为假命题，反之：若“命题pq为真”，则p与q都为真命题，因此“命题pq为真”，“命题pq为真”是“命题pq为真”的必要不充
15、分条件，因此是假命题；若x0，令f（x）=xsinx，则f（x）=1cosx0，因此函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（x）f（0）=0，则xsinx恒成立，正确综上只有是真命题故选：C【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力，属于中档题9已知正项数列an中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an12（n2），则a6等于（）A16B8CD4【考点】数列递推式【专题】计算题【分析】由题设知an+12an2=an2an12，且数列an2为等差数列，首项为1，公差d=a22a12=3，故an2=1+3（n1）=3n2，由此能求出a6【解答】解：正项数
16、列an中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an12（n2），an+12an2=an2an12，数列an2为等差数列，首项为1，公差d=a22a12=3，an2=1+3（n1）=3n2，=16，a6=4，故选D【点评】本题考查数列的递推式的应用，是基础题解题时要认真审题，注意等差数列的性质和应用10已知ABC内接于单位圆，则长为sinA、sinB、sinC的三条线段（）A能构成一个三角形，其面积大于ABC面积的B能构成一个三角形，其面积等于ABC面积的C能构成一个三角形，其面积小于ABC面积的D不一定能构成三角形【考点】进行简单的演绎推理【专题】转化思想；数学模型法；解三角形【分析】设
17、ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得， =2可得a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC，由a，b，c为三角形的三边判断即可【解答】解：设ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得， =2，a=2sinA，b=2sinB，c=2sinCa，b，c为三角形的三边sinA，sinB，sinC也能构成三角形的边，面积为原来三角形面积，故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理的变形形式a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（R为三角形外接圆的半径）的应用，属于中档试题11等差数列an和bn的前n项的和分别为Sn和Tn，对一切自然数n都有，则=（）ABCD【考点】等差数列的性
18、质；等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的前n项和公式分别表示出等差数列an和bn的前n项的和分别为Sn和Tn，利用等差数列的性质化简后，得到a5=S9，b5=T9，然后将n=9代入已知的等式中求出的值，即为所求式子的值【解答】解：S9=9a5，Tn=9b5，a5=S9，b5=T9，又当n=9时， =，则=故选B【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握等差数列的性质及求和公式是解本题的关键12已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值若曲线y=xa过点P（，），则a的值为（）A1BC2D3【考点】基本不等式【专题】不等式【分析】先根据基本不等式等号成立的条件
19、求出m，n的值，得到点P的坐标，再代入到函数的解析式中，求得答案【解答】解： =（m+n）（+）=1+16+17+2=25，当且仅当n=4m，即m=，n=时取等号，点P（，），=，=故选：B【点评】本题考查了基本不等式的应用以及函数的解析式，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知公差不为0的等差数列an，其前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为2【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d，结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=4d，进而根据等差数列的通项公式
20、化简所求的式子即可得出答案【解答】解：设等差数列的公差为d（d0），首项为a1，所以a3=a1+2d，a4=a1+3d，因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=4d，则=2故答案为：2【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题14已知点（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的同侧，则a的取值范围是a|a7或a24【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【专题】不等式的解法及应用【分析】根据点（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的同侧，得出（92+a）（1212+a）0，求出a的取值范围【解答】解：点（
21、3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的同侧，（92+a）（1212+a）0，解得a7或a24；a的取值范围是a|a7或a24故答案为：a|a7或a24【点评】本题考查了二元一次不等式（组）表示平面区域的问题，解题时应根据题意列出不等式，从而求出结果，是基础题15若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（4，2）【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k的取值范围【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y得y=x+，要使目标函数z=kx+2y
22、仅在点B（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，目标函数的斜率大于x+y=2的斜率且小于直线2xy=1的斜率即12，解得4k2，即实数k的取值范围为（4，2），故答案为：（4，2）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法根据条件目标函数仅在点（1，1）处取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键16下列4个命题：“如果x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题“如果x2+x60，则x2”的否命题在ABC中，“A30”是“sinA”的充分不必要条件“函数f（x）=tan（x+）为奇函数”的充要条件是“=k（kZ）”其中真命题的序号是【
23、考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】对于：先求得逆命题，再判断真假，由相反数的定义易知正确；对于：先求得否命题，再判断真假，结合二次不等式的解法易知其否命题为真；对于：A30，可以举一个反例否定即可；对于：若为奇函数，则应有f（0）=0，能否得到=k；反之当=k时，判断是否有f（x）=f（x）即可【解答】解：对于：其逆命题是：如果x、y互为相反数，则x+y=0，显然正确；对于：否命题是“如果x2+x60，则x2”，由x2+x60得3x2，此时x2显然成立，故为真；对于：当A=150时，sinA=，不满足结论，故为假；对于：当函数f（x）=tan（x+）为奇函数时，结合图象可知，当
24、x=0时，f（0）=0或不存在，则应有=k或k+，kZ，故不满足充分性，故错误故答案为：【点评】本题综合考查了命题真假的判断方法，主要侧重于基础知识考查，难度并不大三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17解关于x的不等式（xa）（x）0【考点】一元二次不等式的解法【专题】计算题；分类讨论；综合法；不等式的解法及应用【分析】通过a的范围，确定a和的大小，从而求出不等式的解集【解答】解：原不等式可化为：（xa）（x）0，令a=，解得：a=1，当a1或0a1时：a，ax；当a=1或a=1时：a=，不等式无解；当1a0或a1时：a，xa，综上：a=1或a=1时
25、：a=，不等式的解集是，当a1或0a1时：不等式的解集是：x|ax；当1a0或a1时：不等式的解集是：x|xa【点评】本题考查了解不等式问题，考查分类讨论，是一道基础题18已知p：x28x200；q：1m2x1+m2（）若p是q的必要条件，求m的取值范围；（）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】（）求出p，q成立的等价条件，根据p是q的必要条件，建立条件关系即可（）利用p是q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可【解答】解：由x28x200得2x10，即p：2x10，由x2+2x+1m20得x+
26、（1m）x+（1+m）0，q：1m2x1+m2（）若p是q的必要条件，则，即，即m23，解得m，即m的取值范围是，（）p是q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件即，即m29，解得m3或m3即m的取值范围是m3或m3【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性将p是q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，是解决本题的关键19已知an是首项为a1，公差为d的等差数列，Sn是其前n项的和，且S5=5，S6=3（）求数列an的通项an及Sn；（）设bn2an是首项为1，公比为3的等比数列求数列bn的通项公式及其前n项和Tn【考点】等差数列的性质；数列的求和【专题】综合
27、题；等差数列与等比数列【分析】（）由已知S6、S5的值联立方程组求解等差数列的首项和公差，则等差数列的通项公式和前n项和可求；（）由bn2an是等比数列写出其通项公式，在把an代入bn2an可求数列bn的通项公式，然后利用分组求和得到数列bn的其前n项和Tn【解答】解：（）由S5=5，S6=3，有，解得a1=7，d=3，an=7+（n1）（3）=3n+10Sn=；（）由题意有bn2an=3n1，又由（1）有bn=3n1+206nTn=b1+b2+bn=（1+2a1）+（3+2a2）+（3n1+2an）=1+3+3n1+2（a1+a2+an）=【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查
28、了等差数列和等比数列的前n项和公式，训练了数列的分组求和方法，是中档题20已知函数f（x）=x22x8，g（x）=2x24x16，（1）求不等式g（x）0的解集；（2）若对一切x2，均有f（x）（m+2）xm15成立，求实数m的取值范围【考点】一元二次不等式的解法；函数恒成立问题【专题】不等式的解法及应用【分析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）（m+2）xm15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围【解答】解：由g（x）=2x24x160，得x22x80，即（x+2）（x4）0，解得2x4所以不等式g（x）0的解集为x|2x4；（2）因为f（
29、x）=x22x8，当x2时，f（x）（m+2）xm15成立，则x22x8（m+2）xm15成立，即x24x+7m（x1）所以对一切x2，均有不等式成立而（当x=3时等号成立）所以实数m的取值范围是（，2【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是基础题21在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（）求角A的大小；（）若，求ABC面积的最大值【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题【分析】（I）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果（II）利用余
30、弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值【解答】解：（），所以（2cb）cosA=acosB由正弦定理，得（2sinCsinB）cosA=sinAcosB整理得2sinCcosAsinBcosA=sinAcosB2sinCcosA=sin（A+B）=sinC在ABC中，sinC0，（）由余弦定理，b2+c220=bc2bc20bc20，当且仅当b=c时取“=”三角形的面积三角形面积的最大值为【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用22如图，在等腰直角三角形OPQ中，POQ=
31、90，OP=2，点M在线段PQ上（1）若OM=，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且MON=30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值【考点】三角形中的几何计算；正弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】（1）在OPQ中，由余弦定理得，OM2=OP2+MP22OPMPcos45，解得MP即可（2）POM=，060，在OMP中，由正弦定理求出OM，同理求出ON，推出三角形的面积，利用两角和与差的三角函数化简面积的表达式，通过的范围求出面积的最大值【解答】解：（1）在OPQ中，OPQ=45，OM=，OP=2，由余弦定理得，OM2=OP2+MP22OPMPcos45，得MP24MP+3=0，解得MP=1或MP=36（2）设POM=，060，在OMP中，由正弦定理，得，所以，同理8SOMN= 10= 14因为060，302+30150，所以当=30时，sin（2+30）的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值即POM=30时，OMN的面积的最小值为8416【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理两角和与差的三角函数的应用，考查转化思想以及计算能力
