1、25直线与圆、圆与圆的位置关系25.1直线与圆的位置关系新课程标准解读核心素养1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系逻辑推理、直观想象2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题体会用代数方法处理几何问题的思想直观想象、数学运算第一课时直线与圆的位置关系早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程，你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种位置关系，你发现了吗？问题日出升起的过程体现的是直线与圆的哪三种位置关系？知识点直线与圆的位置关系1直线与圆的三种位置关系位置关系交点个数图示相交有两个公共
2、点相切只有一个公共点相离没有公共点2直线与圆的位置关系的判断位置关系相交相切相离判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddrdrdr代数法：由消元得到一元二次方程的判别式0001若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？提示：一定2若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？提示：当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()(2)直线x2y10与圆2x22y24x2y10的位置关系是相交()答案：(1)(2)2直线yx1与圆x2y21的位置关系为()A相切B相交但直线不过圆心C
3、直线过圆心 D相离解析：选B圆心(0，0)到直线yx1的距离d.因为01，故直线与圆相交但直线不过圆心，选B.3直线xym0与圆x2y2m相切，则m的值为()A0或2 B2C. D无解解析：选B由于直线与圆相切，故，解得m0(舍去)或m2.4直线y2x3被圆x2y26x8y0所截得的弦长等于_解析：圆的方程可化为(x3)2(y4)225.故圆心为(3，4)，半径r5.又直线方程为2xy30，所以圆心到直线的距离为d，所以弦长为2224.答案：4直线与圆位置关系的判断例1(链接教科书第91页例1)已知直线l：x2y50与圆C：(x7)2(y1)236，判断直线l与圆C的位置关系解法一(代数法)：
4、由方程组消去y后整理，得5x250x610.(50)245611 2800，该方程组有两组不同的实数解，即直线l与圆C相交法二(几何法)：圆心(7，1)到直线l的距离为d2.dr6，直线l与圆C相交判断直线与圆位置关系的方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断 跟踪训练1直线xky10与圆x2y21的位置关系是()A相交B相离C相交或相切 D相切解析：选C直线xky10恒过定点(1，0)，而(1，0)在圆上，故直线与圆相切或相交2已知点(a，b)在圆C：x2y2r2(r0)的外部，则直线axbyr2与C的位置关
5、系是()A相切B相离C相交 D不确定解析：选C由已知a2b2r2，且圆心到直线axbyr2的距离为d，则dr，故直线axbyr2与圆C的位置关系是相交.切线问题例2(链接教科书第92页例2)(1)设直线mxy20与圆x2y21相切，则m_；(2)过点A(1，4)作圆(x2)2(y3)21的切线l，求切线l的方程为_解析(1)已知圆的圆心为O(0，0)，半径r1，则O到已知直线的距离d .由已知得dr，即1，解得m.(2)(12)2(43)2101，点A在圆外当直线l的斜率不存在时，l的方程是x1，不满足题意设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y4k(x1)，即kxy4k0.圆心(2，3)到切线
6、l的距离为1，解得k0或k，因此，所求直线l的方程y4或3x4y130.答案(1)(2)y4或3x4y1301过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程yy0或xx0.2过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法设切线方程为yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为xx0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条一般不用联立方程组的方法求解3求切线长(最值)的两种方法(
7、1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题 跟踪训练1以点(2，1)为圆心，且与直线3x4y50相切的圆的方程为()A(x2)2(y1)23B(x2)2(y1)23C(x2)2(y1)29D(x2)2(y1)29解析：选D圆心到直线3x4y50的距离d3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x2)2(y1)29.2点P是直线2xy100上的动点，PA，PB与圆x2y24分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为_解析：如图所示，因为S四边形PAOB2SPOA.又OAAP，所以S四边形P
8、AOB2|OA|PA|22.为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线2xy100的距离|OP|min2.故所求最小值为28.答案：8弦长问题例3(链接教科书第91页例1)如果一条直线经过点M且被圆x2y225所截得的弦长为8，求这条直线的方程解圆x2y225的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l8，于是弦心距d 3.因为圆心O(0，0)到直线x3的距离恰为3，所以直线x3是符合题意的一条直线当直线的斜率存在时，设直线yk(x3)也符合题意，即圆心到直线kxy0的距离等于3，于是3，解得k.故直线的方程为3x4y150.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为
9、x3或3x4y150.求弦长的两种方法(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理d2r2求解，这是常用解法；(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解此解法很烦琐，一般不用 跟踪训练1在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_解析：因为圆心(2，1)到直线x2y30的距离d，所以直线x2y30被圆截得的弦长为2 .答案：2过点(3，1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_解析：设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，
10、半径r2.当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|.半弦长为.最短弦的长为2.答案：2圆的切线与切点弦若P0(x0，y0)是圆O：x2y2r2上一点，则圆O的过点P0的切线方程是x0xy0yr2.事实上，因为点P0(x0，y0)在圆O：x2y2r2上，所以xyr2，即x0x0y0y0r2，从而点P0在直线x0xy0yr2上又因为圆心O到直线x0xy0yr2的距离dr，所以x0xy0yr2是圆O的过点P0的切线方程问题探究当点P0(x0，y0)在圆O外时，方程x0xy0yr2表示怎样的直线呢？如图，过P0(x0，y0)作圆O的两条切线，切点分别为A，B.设A(x1，y1)，B(x2，
11、y2)，则直线P0A的方程为x1xy1yr2.因为P0(x0，y0)在直线P0A上，所以x1x0y1y0r2，故(x1，y1)满足方程x0xy0yr2，即点A在直线x0xy0yr2上同理点B在直线x0xy0yr2上所以x0xy0yr2是直线AB的方程，即切点弦所在直线的方程迁移应用当点P0(x0，y0)在圆O内(异于O)时，方程x0xy0yr2表示怎样的直线？解：圆心O(0，0)到直线x0xy0yr2的距离d，点P0(x0，y0)在圆O内，即r，故直线与圆相离1直线3x4y120与圆C：(x1)2(y1)29的位置关系是()A相交并且直线过圆心B相交但直线不过圆心C相切 D相离解析：选D圆心C(1，1)到直线的距离d，圆C的半径r3，则dr，所以直线与圆相离2求实数m的取值范围，使直线xmy30与圆x2y26x50分别满足：(1)相交；(2)相切；(3)相离解：圆的方程化为标准式为(x3)2y24，故圆心(3，0)到直线xmy30的距离d，圆的半径r2.(1)若相交，则dr，即r，即 2，所以m(2，2)
