1、22.3直线的一般式方程新课程标准解读核心素养1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式数学抽象、逻辑推理2.会进行直线方程的五种形式间的转化逻辑推理、数学运算同学们，前面我们学习了直线方程的四种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式问题(1)你能发现这四种形式的直线有什么共同特征吗？(2)探究它们的方程能否化简为统一的形式？知识点直线的一般式方程1定义：关于x，y的二元一次方程 AxByC0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式2系数的几何意义：当B0时，则k(斜率)，b(y轴上的截距)；当B0，A0时，则a(x轴上的截距)，此时不存在斜率1平面直角坐标系中的
2、每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？提示：都可以2每一个关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)都能表示一条直线吗？提示：都能表示一条直线直线xy10的倾斜角为()A30B60C120D150解析：选A由直线的一般式方程，得它的斜率为，从而倾斜角为30.直线的一般式方程例1(链接教科书第65页例5)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是且经过点A(5，3)；(2)经过A(1，5)，B(2，1)两点；(3)在x，y轴上的截距分别是3，1.解(1)由点斜式方程得y3(x5)，化为一般式得xy350.(2)由两点式方程得，化为一般式得2xy3
3、0.(3)由截距式方程得1，化为一般式得x3y30.求直线一般式方程的策略(1)当A0时，方程可化为xy0，只需求，的值；若B0，则方程化为xy0，只需求，的值因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式 跟踪训练1已知直线l的倾斜角为60，在y轴上的截距为4，则直线l的点斜式方程为_；截距式方程为_；斜截式方程为_；一般式方程为_解析：点斜式方程为y4(x0)，截距式方程为1，斜截式方程为yx4，一般式方程为xy40.答案：y4(x0)1yx4xy402直线(m2)x(m22m3
4、)y2m在x轴上的截距为3，则实数m的值为_解析：令y0，则直线在x轴上的截距是x，3，m6.答案：6由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直例2已知直线l1：ax2y30，l2：3x(a1)ya0，求满足下列条件的a的值：(1)l1l2；(2)l1l2.解法一：由题可知A1a，B12，C13，A23，B2a1，C2a.(1)当l1l2时，解得a2.(2)当l1l2时，A1A2B1B20，即3a2(a1)0，解得a.法二：直线l1可化为yx.(1)当a1时，l2：x与l1不平行；当a1时，直线l2：yx，l1l2，且，解得a2.(2)当a1时，l2：x与l1不垂直；当a1时，l2：yx，l1l2
5、，1，解得a.1利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20.(1)若l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10)；(2)若l1l2A1A2B1B20.2与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0(mC)；(2)与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAym0. 跟踪训练1已知直线l1：xmy60和l2：mx4y20互相平行，则实数m的值为()A2B2C2 D2或4解析：选C因为直线l2的斜率存在，故当l1l2时，直线l1的斜率也一定存在，所以，解得m2.2已知直
6、线l的方程为3x4y120，求满足下列条件的直线l的方程：(1)过点(1，3)，且与l平行；(2)过点(1，3)，且与l垂直解：法一：l的方程可化为yx3，l的斜率为.(1)l与l平行，l的斜率为.又l过点(1，3)，由点斜式知方程为y3(x1)，即3x4y90.(2)l与l垂直，l的斜率为，又l过点(1，3)，由点斜式可得方程为y3(x1)，即4x3y130.法二：(1)由l与l平行，可设l的方程为3x4ym0(m12)将点(1，3)代入上式得m9.所求直线的方程为3x4y90.(2)由l与l垂直，可设l的方程为4x3yn0.将(1，3)代入上式得n13.所求直线的方程为4x3y130.直线
7、的一般式方程的应用例3设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y62m0.(1)已知直线l在x轴上的截距为3，求m的值；(2)已知直线l的斜率为1，求m的值解(1)由题意知m22m30，即m3且m1，令y0，则x，3，得m或m3(舍去)m.(2)由题意知，2m2m10，即m且m1.由直线l化为斜截式方程得yx，则1，得m2或m1(舍去)m2.母题探究(变设问)若本例中的直线l与y轴平行，求m的值解：直线l与y轴平行，m.含参直线方程的研究策略(1)若方程AxByC0表示直线，则需满足A，B不同时为0；(2)令x0可得在y轴上的截距令y0可得在x轴上的截距若确定直线斜率存在，可将一般式化为
8、斜截式；(3)解分式方程要注意验根 跟踪训练已知(k1)x(k1)y2k0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标解：整理直线l的方程得(xy)k(xy2)0.无论k取何值，该式恒成立，所以解得所以直线l过定点(1，1)1若方程AxByC0表示直线，则A，B应满足的条件为()AA0 BB0CAB0 DA2B20解析：选D方程AxByC0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2B20.2直线1化成一般式方程为()Ayx4 By(x3)C4x3y120 D4x3y12解析：选C由1，得4x3y12，即4x3y120.3在直角坐标系中，直线xy30的倾斜角是()A30 B60C150 D120解析：选C直线斜率k，所以倾斜角为150，故选C.4已知直线kxy13k0，当k变化时，所有直线都恒过点()A(0，0) B(0，1)C(3，1) D(2，1)解析：选Ckxy13k0可化为y1k(x3)，所以直线过定点(3，1)5若直线(2m25m2)x(m24)y5m0的倾斜角是45，则实数m的值是_解析：由已知得m3.答案：3
