1、第8课时双 曲 线一、 填空题1.在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的离心率为_答案：解析：因为a，b，则c3，所以e.2.已知双曲线1(a0)的一条渐近线方程为y2x，则该双曲线的焦距为_答案：10解析：由题意，得2，所以a，所以c5，所以该双曲线的焦距为10.3. 已知双曲线1的实轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程是_答案：yx解析：由题意知2a2，2c4，所以a1，c2，所以b.故双曲线的渐近线方程是yx.4.已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为_答案：1解析：由离心率为知该双曲线为等轴双曲线
2、，渐近线方程为yx. 过F和P(0，4)的直线与双曲线的渐近线平行， c4，ab2.故双曲线的方程为1.5. 若双曲线x2my21过点(，2)，则该双曲线的虚轴长为_答案：4解析：双曲线x2my21过点(，2)，则m，得b24，则该双曲线的虚轴长2b4.6.在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是_答案：解析：由题意，得2m23m，所以2m23m90，解得m或3.因为1是双曲线的方程，所以m0，所以m.7. 设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF14PF2，则PF1F2的面积为_答案：24解析：由得由F1F210可得PF1F2
3、是直角三角形，则SPF1F2PF1PF224.8.已知双曲线C: 1 (a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则双曲线C的方程为_答案：1解析： 双曲线的一条渐近线方程为yx， . 椭圆1与双曲线有公共焦点， c3，则a2b2c29.由解得a2，b，故双曲线C的方程为1.9. 以双曲线1(a0，b0)的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为_答案：解析：设F(c，0)，则点F到双曲线的渐近线bxay0的距离为b，则ab，ca，则该双曲线的离心率为.10.在平面直角坐标系xOy中，双曲线y21的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其
4、焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是_答案：2解析：双曲线的右准线方程为x，渐近线方程为yx，联立可得P，Q.又四边形F1PF2Q的对角线互相垂直，且F1F22c4，所以四边形F1PF2Q的面积SF1F2PQ42.二、 解答题11. 根据下列条件，求双曲线的标准方程(1) 焦点在x轴上，离心率为，且过点(5，3)；(2) 焦距是10，实轴长是虚轴长的2倍；(3) 与双曲线1有相同的焦点，且经过点(3，2)解：(1) 设双曲线的标准方程为1(a0，b0) e， ca，b2c2a2a2.把点(5，3)代入双曲线方程，得a216. 所求双曲线的标准方程为1.(2) 由题意得2c10，2a4
5、b，即c5，a2b.利用c2a2b2，解得a220，b25.由于双曲线的焦点所在的轴不确定，故双曲线的标准方程为1或1.(3) (解法1) c216420， c2， F(2，0)， 2a |4， a212， b2c2a28， 双曲线的标准方程为1.(解法2)设所求双曲线方程为1(40，b0)的一条渐近线方程为2xy0，且顶点到渐近线的距离为.(1) 求此双曲线的方程；(2) 设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若，求AOB的面积解：(1) 依题意得解得故双曲线的方程为x21.(2) 由(1)知双曲线的渐近线方程为y2x，设A(m，2m)，B(n，2n)，
6、其中m0，n0.由得点P的坐标为，将点P的坐标代入x21，整理得mn1.设AOB2，则tan 2，从而sin 2.又OAm，OBn， SAOBOAOBsin 22mn2.13. 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1) 求双曲线的方程；(2) 若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3) 求F1MF2的面积(1) 解： e， 设双曲线方程为x2y2.又双曲线过点(4，)， 16106， 双曲线方程为x2y26，即1.(2) 证明：(证法1)由(1)知ab，c2， F1(2，0)，F2(2，0)， kMF1，kMF2， kMF1kMF2.又点(3，m)在双曲线上， m23， kMF1kMF21， MF1MF2，即0.(证法2) (32，m)，(23，m)， (32)(32)m23m2. M在双曲线上， 9m26， m23， 0.(3) 解： 在F1MF2中，F1F24，且|m|， SF1MF2F1F2|m|46.
