1、第6课时空间向量在立体几何中的应用一、 填空题1. 已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且a，b，c，用a，b，c表示，则_答案：(bca)解析：(bc)a(bca)2. 若直线l，且l的方向向量为(m，2，4)，平面的法向量为，则m为_答案：1解析： (m，2，4)， m1.3. 若向量a(1，2)，b(2，1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则_答案：2或解析：由cosa，b，解得2或.4. 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点若(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)，则给出下列结论： APAB； APAD； 是平面ABCD的一个法向量； .其中正确的是_
2、(填序号)答案：解析：2(1)(1)2(4)(1)2240，则，即APAB；(1)42200，则，即APAD.又ABADA， AP平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量由于(2，3，4)，(1，2，1)， ， 与不平行5. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为_答案：解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则(0，1，0)，(1，1，0)，(0，1，2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的
3、一个法向量为n(2，2，1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.6. 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA15，BAD90，BAA1DAA160，则对角线AC1的长度等于_答案：解析：2()222222216925243cos 90245cos 60235cos 6050201585，即 |.7. 如图，在直三棱柱A1B1C1 ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点，则异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为_答案：解析：以A为坐标原点，以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0
4、，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4) ，C1(0，2，4)，所以(2，0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为. 8. 已知O点为空间直角坐标系的原点，向量(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动当取得最小值时， 的坐标是_答案：解析： 点Q在直线OP上， 设点Q(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106.当时，取得最小值，此时.9. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的
5、锐二面角的余弦值为_答案：解析：如图，以A点为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以(0，1，1)，.设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则所以所以n1(1，2，2)因为平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)，所以cos n1，n2，即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.二、 解答题10. 如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQBB1(0)(1) 若，求AP与AQ所成角的余弦值；(2) 若直线AA1与平
6、面APQ所成的角为45，求实数的值解：以A点为坐标原点，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.(1) 因为(1，2，2)，(2，0，1)，所以cos，.所以AP与AQ所成角的余弦值为.(2) 由题意可知，(0，0，2)，(2，0，2)设平面APQ的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x2，y2.所以n(2，2，2)因为直线AA1与平面APQ所成角为45，所以|cosn，|，化简得5240.又0，所以.11. 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2) 求二面角B
7、A1DA的正弦值解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以A点为原点，为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2，AA1，BAD120，所以A(0，0，0)，B(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，A1(0，0，)，C1(，1，)(1) (，1，)，(，1，)，则cos，因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2) 平面A1DA的一个法向量为(，0，0)设m(x，y，z)为平面BA1D的法向量，又(，1，)，(，3，0)，则即不妨取x3，则y，z2，所以m(3，2)为平面BA1D的一个法向量，所
8、以cos，m.设二面角BA1DA的大小为，则|cos |.因为0，所以sin .所以二面角BA1DA的正弦值为.12. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，ADBC，BADCBA90，PAABBC1，AD2，点E，F，G分别为BC，PD，PC的中点以A点为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(1) 求异面直线EF与DG所成角的余弦值(2) 若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN平面PBC ？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1) 由题意得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，
9、1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1) 点E，F，G分别为BC，PD，PC的中点， E，F，G， ，.设EF与DG所成角为，则cos . EF与DG所成角的余弦值为.(2) 存在设平面PBC的一个法向量为n(x，y，z) (0，1，0)，(1，0，1)， 取x1，得n(1，0，1)M为EF上一点，N为DG上一点，若存在MN，使得MN平面PBC，则n.设M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)，则， 点M，N分别是线段EF与DG上的点， ，t. ，(x2，y22，z2)， 且，把代入，得解得 M，N.13. 如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱P
10、A，PC，BC的中点，点M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.(1) 求证：MN平面BDE；(2) 求二面角CEM N的正弦值；(3) 已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长(1) 证明：如图，以A点为坐标原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)(0，2，0)，(2，0，2)设n(x，y，z)为平面BDE的一个法向量，则即不妨取z1，可得n(1，0，1)又(1，2，1)，可得n0.因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.(2) 解：由题可知n1(1，0，0)为平面CEM的一个法向量设n2(x2，y2，z2)为平面EMN的一个法向量，则因为(0，2，1)，(1，2，1)，所以取y21，可得n2(4，1，2)因此cosn1，n2，所以sinn1，n2，所以二面角CEMN的正弦值为.(3) 解：依题意，设AHh(0h4)，则H(0，0，h)，(1，2，h)，(2，2，2)由已知，得|cos，|，整理得10h221h80，解得h或h，所以线段AH的长为或.
