1、2.6 对数与对数函数第二章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊【知识梳理】1.对数的概念(1)根据下图的提示填写与对数有关的概念:(2)a的取值范围.指数对数幂真数底数a0,且a12.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0,且a1,M0,N0,那么loga(MN)=;loga =;logaMn=(nR).(2)对数的性质:=N(a0,且a1).logaM+logaN logaM-logaN nlogaM函数y=logax(a0,且a1)a1 0a0,且a1)a10a1时,y0;当0 x1时,y1时,y0;当0 x0在(0,+)内是在(0,+
2、)内是(0,+)(1,0)增函数减函数4.反函数指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数(a0,且a1)互为反函数,它们的图像关于直线对称.y=logax y=x 常用结论1.对数的性质(a0,且a1,b0)(1)loga1=0;(2)logaa=1;2.换底公式的推论(1)logablogba=1,即logab=;(2)logablogbclogcd=logad.常用结论3.对数函数的图像与底数大小的比较如图,直线y=1与四个函数图像交点的横坐标即为相应的底数.结合图像知0cd1ab.由此我们可以得到下面的规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大.【考点自诊】2.(2020陕西西安中学八模
3、,理3)已知xlog32=1,则4x=()A.4B.6C.D.9答案 D关系是()A.bacB.acbC.cbaD.bc0,且a1)的值域为y|00,且a1)的值域为y|0y1,则0a1,由此可知y=loga|x|的图像大致是A.答案 1关键能力 学案突破考点1考点2考点3考点1对数式的化简与求值考点1考点2考点3思考对数运算的一般思路是什么?解题心得 对数运算的一般思路:(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.考
4、点1考点2考点3考点1考点2考点3答案(1)B(2)A考点1考点2考点3考点2对数函数的图像及其应用【例2】(1)函数y=2log4(1-x)的图像大致是()(2)已知当0 x 时,4x=logax有解,则实数a的取值范围是.考点1考点2考点3解析(1)函数y=2log4(1-x)的定义域为(-,1),排除A,B;又函数y=2log4(1-x)在定义域内递减,排除D.故选C.考点1考点2考点3(2)考点1考点2考点3变式发散将本例(2)中的“4x=logax有解”改为“4xlogax”,则实数a的取值范围为.考点1考点2考点3解题心得应用对数型函数的图像可求解的问题:(1)对一些可通过平移、对
5、称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,也常利用数形结合思想;(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.考点1考点2考点3对点训练2(1)函数f(x)=loga|x|+1(0a1)的图像大致是()考点1考点2考点3答案(1)A(2)C解析(1)由于函数f(x)=loga|x|+1(0a0时,f(x)=loga|x|+1(0a1)单调递减;当x0时,f(x)=loga|x|+1(0a1)单调递增.再由图像过点(1,1),(-1,1),可知应选A.考点1考点2考点3考点3对数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较含对
6、数的函数值的大小【例3】(1)(2020全国3,文10)设a=log32,b=log53,c=,则()A.acbB.abcC.bcaD.cab(2)(2020河北沧州一模,理9)已知a=log0.30.5,b=log30.5,c=log0.50.9,则()A.abaca+bB.a+babacC.acaba+bD.aba+bac考点1考点2考点3答案(1)A(2)D考点1考点2考点3(2)0=log0.31log0.30.5log0.30.3=1,即0a1;log30.5log31=0,即b0;0=log0.51log0.50.9log0.50.5=1,即0c1,ab0,0ac1,即有abac.
7、aba+b0.综上,aba+bac.故选D.考点1考点2考点3解题心得比较含对数的函数值的大小,首先应确定对应函数的单调性,然后比较含对数的自变量的大小,同底数的可借助函数的单调性;底数不同、真数相同的可以借助函数的图像;底数、真数均不同的可借助中间值(0或1).考点1考点2考点3对点训练3(1)(2020山西太原二模,理3)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则()A.abcB.acbC.bacD.cab(2)(2020全国3,理12)已知5584,13485.设a=log53,b=log85,c=log138,则()A.abcB.bacC.bcaD.calogag
8、(x)(a0,且a1)的不等式,再借助y=logax的单调性求解,当a1时,考点1考点2考点3对点训练4(1)定义在R上的奇函数f(x),当x(0,+)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)0,且a1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明;(3)当a1时,求使f(x)0的x的取值范围.考点1考点2考点3的定义域为x|-1x1.(2)f(x)为奇函数.证明如下:由(1)知f(x)的定义域为x|-1x1时,f(x)在定义域x|-1x1上是增函数,考点1考点2考点3解题心得有关对数型函数的综合问题要注意三点:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小
9、关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.考点1考点2考点3对点训练5(1)(2020山东潍坊一模,7)已知定义在R上的偶函数f(x)=2|x-m|-1,记a=f(-ln 3),b=f(-log25),c=f(2m),则()A.abcB.acbC.cabD.cba(2)已知函数f(x)=loga(ax2-x+3)在1,3上是增加的,则a的取值范围是.考点1考点2考点3解析(1)根据题意,有f(-x)=f(x),即2|x-m|-1=2|-x-m|-1,可得m=0,则f(x)在(0,+)上是增加的,a=f(-ln 3)
10、=f(ln 3),b=f(log25),c=f(20)=f(1),又01ln 32log25,则ca1时,f(t)为定义域上的增函数,所以要保证t=ax2-x+3在1,3上是增加的,考点1考点2考点3要点归纳小结1.多个对数函数图像比较底数大小的问题,可通过图像与直线y=1交点的横坐标进行判定.2.研究对数型函数的图像时,一般从最基本的对数函数的图像入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a1和0a0的条件,当nN*,且n为偶数时,在无M0的条件下应为logaMn=nloga|M|.2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)定义域优先的原则.(2)要有分类讨论的意识.本 课 结 束
