1、2.5 指数与指数函数第二章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊【知识梳理】1.根式(1)根式的概念(2)根式的性质2.实数指数幂(1)分数指数幂的表示0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义.(2)有理数指数幂的运算性质aras=(a0,r,sQ).(ar)s=(a0,r,sQ).(ab)r=(a0,b0,rQ).0 ar+sars arbr(3)无理数指数幂一般地,无理数指数幂a(a0,为无理数)是一个的实数.整数指数幂的运算性质于实数指数幂.确定同样适用3.指数函数的图象和性质函数y=ax(a0,且a1)0a1图象图象特征在x轴,过定点当x
2、逐渐增大时,图象逐渐下降当x逐渐增大时,图象逐渐上升上方(0,1)函数y=ax(a0,且a1)0a1性质定义域值域单调性在R上在R上函数值变化规律当x=0时,当x0时,当x0时,R(0,+)单调递减单调递增y=1y10y1 0y1 常用结论1.指数函数y=ax(a0,且a1)的图象过三个定点:(1,a),(0,1),.2.指数函数y=ax与y=bx的图象特征,在第一象限内,图象越高,底数越大;在第二象限内,图象越高,底数越小.【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(4)函数y=32x与y=2x+1都不是指数函数.()(5)若aman,则mn.()A.mn0B.0mn
3、C.nm0D.0nm 答案 A3.(2020广东广州模拟,4)已知函数f(x)=()x,则不等式f(a2-4)f(3a)的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.(1,4)D.(0,4)答案 B4.(2020天津卷,6)设a=30.7,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC.bcaD.ca3或x0,且a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,).2.已知函数解析式判断其图象一般是依据函数的单调性、奇偶性,再结合一些特殊点,判断所给的图象是否符合,若不符合则排除.考点1考点2考点3对点训练2函数f(x)=1-e|x|的图象大致是()
4、答案A解析 由题知f(x)=1-e|x|是偶函数,图象关于y轴对称,故排除B,D,又e|x|1,则f(x)0,故排除C,故选A.考点1考点2考点3考向2指数函数图象的应用【例3】(1)若函数y=|3x-1|的图象与直线y=m有两个不同交点,则实数m的取值范围是.(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.考点1考点2考点3答案(1)(0,1)(2)-1,1解析(1)如图,函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,而直线y=m的图象是平行于x轴的一条直线.如图所示,由图象可得,如果曲线y=|
5、3x-1|与直线y=m有两个公共点,则m的取值范围是(0,1).(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示.由图象可得,若|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则-1b1.故b的取值范围是-1,1.考点1考点2考点3变式发散1若本例(1)的条件变为:方程3|x|-1=m有两个不同实根,则实数m的取值范围是.答案(0,+)解析 作出函数y=3|x|-1与y=m的图象如图所示,数形结合可得m的取值范围是(0,+).考点1考点2考点3变式发散2若本例(1)的条件变为:函数y=|3x-1|+m的图象不经过第二象限,则实数m的取值范围是.答案(-,-1解析 作出函数y=|3x-1|+m的图象
6、如图所示.由图象知m-1,即m(-,-1.考点1考点2考点3解题心得1.对于有关指数型函数图象的应用问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.考点1考点2考点3对点训练3(1)(2020安徽蒙城月考,4)已知0a1,b1,b1,b0C.0a0 D.0a1,b0,且a1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是.考点1考点2考点3解析(1)因为0a1,b-1,则函数y=ax+b的大致图象如图.由图象可知,y=ax+b的图象必定不经过第一象限.故
7、选A.(2)由图象知f(x)是减函数,所以0a1,又由图象在y轴上的截距小于1,则a-b0,所以b0.故选D.考点1考点2考点3(3)当0a1时,y=|ax-1|的图象如下图,因为y=2a与y=|ax-1|的图象有两个交点,所以02a1.所以0a1时,y=|ax-1|的图象如下图,而此时直线y=2a不可能与y=|ax-1|的图象有两个交点.考点1考点2考点3考点3指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1指数函数单调性的应用【例4】(1)(2020湖南永州二模,理3)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则()A.acbB.abcC.cabD.bca考点1考点2考点3答案(
8、1)B(2)C考点1考点2考点3解题心得比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较.考点1考点2考点3对点训练4(1)(2019全国1,文3,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca(2)当x(-,-1时,不等式(m2-m)4x-2x0恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,1)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(-1,2)考点1考点2考点3答案(1)B(2)D解析(1
9、)因为a=log20.220=1,又0c=0.20.30.20=1,所以ac3,或xag(x),当a1时,等价于f(x)g(x);当0a1时,等价于f(x)g(x).考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3(2)当x0时,原方程化为4x+2x-12=0,即(2x)2+2x-12=(2x-3)(2x+4)=0,解得2x=3,或2x=-4(舍).x=log23.当x0时,原方程化为4x-2x-10=0.令t=2x,则t2-t-10=0(0t0在x(-,1时恒成立,则实数a的取值范围是.考点1考点2考点3考点1考点2考点3解题心得指数函数的综合问题,主要涉及单调性、奇偶性、最值问题,应在有关性质的基础上,结合指数函数的性质进行解决,而指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化.考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3要点归纳小结1.比较大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值.2.指数型函数、方程及不等式问题,可利用指数函数的图象、性质求解.3.与指数型函数有关的恒成立问题:(1)当a1时,af(x)ag(x)恒成立f(x)g(x)恒成立f(x)-g(x)0恒成立f(x)-g(x)min0.(2)当0a1及0a1进行分类讨论.本 课 结 束
