1、9.5椭圆必备知识预案自诊知识梳理1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.已知集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数.(1)若ac,则点M的轨迹为椭圆;(2)若ac,则点M的轨迹为线段;(3)若ac,则点M不存在.2.椭圆的标准方程及性质标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)图形性质范围-axa,-byb-bxb,-aya对称性对称轴:坐标轴,对称中心:点(0,0)顶点A1(-a,0),A2(a,
2、0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b离心率e=ca,且e(0,1)a,b,c的关系c2=a2-b2(1)过椭圆x2a2+y2b2=1上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.(2)若点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外,过点P作椭圆的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.(3)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上任意一点P(x,y)
3、,则当x=0时,|OP|有最小值b,这时,P为短轴端点;当x=a时,|OP|有最大值a,这时,P为长轴端点.(4)若P为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上任意一点,则a-c|PF|a+c.(5)椭圆的焦半径公式设M(x0,y0)是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的任意一点,椭圆的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(其中e是离心率).(6)椭圆中点弦的斜率公式若M(x0,y0)是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点,则有kABkOM=-b2a2,即kAB=-b2x0a2y0.(7)弦长公式:若直线y=
4、kx+b与椭圆相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=1+1k2|y1-y2|=(1+1k2)(y1+y2)2-4y1y2.(8)若P是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的点,F1,F2为焦点,若F1PF2=,则F1PF2的面积为b2tan2.(9)椭圆x2a2+y2b2=1的通径长为2b2a.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(3)关于x,y的方程mx2+ny2=1
5、(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆.()(4)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与椭圆y2a2+x2b2=1(ab0)的焦距相同.()(5)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()2.设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则点P与椭圆左焦点间的距离为()A.4B.3C.2D.53.(2020江西南昌三中期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点,若AF1B的周长为43,则椭
6、圆C的方程为()A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=14.“0mb0)的离心率为32,焦距为23,则椭圆的方程为.关键能力学案突破考点椭圆的定义及应用【例1】(1)已知F1,F2分别是椭圆E:x225+y29=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l为F1PF2的外角平分线,过点F2作l的垂线,交F1P的延长线于点M,则|F1M|=()A.10B.8C.6D.4(2)(2020山东东营联考)设F1,F2是椭圆x24+y2b2=1(0bb0)的焦距为2,右顶点为A.过原点与x轴不重合的直线交椭圆C于M,N两点,线段AM的中点为B,若直线BN经过
7、椭圆C的右焦点,则椭圆C的方程为()A.x24+y23=1B.x26+y25=1C.x29+y28=1D.x236+y232=1(2)椭圆的离心率为22,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆的方程为.(3)已知方程x2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是.思考求椭圆的标准方程的基本方法是什么?利用该方法应注意些什么?解题心得1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.2.若椭圆的焦点位置不确定,则要分焦点在x轴上或在y轴上两种情况求解,有时为了解题
8、方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m0,n0且mn)的形式,避免讨论.3.椭圆的标准方程的两个应用:(1)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与椭圆x2a2+y2b2=(ab0,0)有相同的离心率.(2)与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)共焦点的椭圆系方程为x2a2+k+y2b2+k=1(ab0,b2+k0).恰当运用椭圆系方程,可使运算简便.4.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤.(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2)设方程:根据上述判断设椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0)或y2a2+x2b2=1(ab0);(3
9、)找关系:根据已知条件,建立关于a,b的方程组;(4)得方程:解方程组求出a,b,即可得到椭圆的标准方程.对点训练2(1)(2020山东聊城调研)过点(3,2)且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为()A.x25+y210=1B.x210+y215=1C.x215+y210=1D.x225+y210=1(2)如图,中心在坐标原点,焦点分别在x轴和y轴上的椭圆C1,C2都过点A(0,-2),且椭圆C1,C2的离心率相等,以椭圆C1,C2的四个焦点为顶点的四边形面积为22,则椭圆C1的标准方程为.(3)(2020湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点,焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小
10、距离为22-2,离心率为22,则椭圆E的方程为.考点椭圆的几何性质及应用【例3】(1)(2020安徽合肥一中等六校检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为P,直线l:4x-3y=0与椭圆相交于A,B两点.若|AF|+|BF|=6,点P到直线l的距离不小于65,则椭圆离心率的取值范围为()A.0,95B.0,32C.0,53D.13,32(2)设F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=2a上一点,F2PF1是底边为PF1的等腰三角形,且直线PF1的斜率为13,则椭圆E的离心率为()A.1013B.58C.35D.23(
11、3)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,若椭圆上存在点M使得在MF1F2中,sinMF1F2a=sinMF2F1c,则该椭圆离心率的取值范围为()A.(0,2-1)B.22,1C.0,22D.(2-1,1)思考求离心率的方法有哪些?解题心得求离心率常见的方法有三种:求出a,c,代入公式e=ca;由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2求解;只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(
12、不等式)即可得e(e的取值范围).对点训练3(1)(2020河南洛阳一模)已知椭圆x211-m+y2m-3=1的长轴在y轴上,且焦距为4,则m等于()A.5B.6C.9D.10(2)设F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点,A是椭圆E的左顶点,P为直线x=3a2上一点,APF是底角为30的等腰三角形,则椭圆E的离心率为()A.34B.23C.12D.13(3)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上运动,|PF1|PF2|的最大值为m,PF1PF2的最小值为n,且m2n,则该椭圆的离心率的取值范围为.考点直线与椭圆的综合问题(多考向探究)考
13、向1与弦长有关的问题【例4】已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设点P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若点C,D和点Q-74,14共线,求k的值.思考利用哪种弦长公式能使求直线和椭圆相交所得的弦长变简单?如何设直线的方程能减少计算量?解题心得与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式kABkOM=-b2a2,即kAB=-b2x0a2y0比较方便快捷,其中点M的坐标为(x0,y0).解决此类问题常
14、用方法是“韦达定理”和“点差法”.这两种方法的前提都是必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点.对点训练4(2020山东菏泽一模,21)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,以M(-a,b),N(a,b),F2和F1为顶点的梯形的高为3,面积为33.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设A,B为椭圆C上的任意两点,若直线AB与圆O:x2+y2=127相切,求AOB面积的取值范围.考向2中点弦、弦中点问题【例5】已知椭圆x22+y2=1.(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(2)求过点P12,12且被点P平分的弦所在直线的方程.思考如何快捷求解弦中点、中点弦的问题
15、?点差法应用于何种题型?解题心得直线方程的设法,根据题意,如果需要讨论斜率不存在的情况,则设直线方程为x=ty+m,避免讨论;若所研究的直线的斜率存在,则可设直线方程为y=kx+b的形式,若平行于坐标轴的直线都包含,则不要忘记斜率不存在的情况的讨论.对点训练5(2020山西太原五中3月摸底)若过椭圆x216+y24=1内一点P(3,1)的弦被该点平分,则该弦所在的直线方程为()A.3x+4y-13=0B.3x-4y-5=0C.4x+3y-15=0D.4x-3y-9=0考向3直线与椭圆的综合【例6】(2020北京,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点A(-2,-1),且a=2b
16、.(1)求椭圆C的方程;(2)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q,求|PB|BQ|的值.思考求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是什么?什么是设而不求思想?解题心得求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想,即根据题意,列出有关的方程,利用代数的方法求解.为减少计算量,在代数运算中,经常运用设而不求的方法,即把题目中涉及的点的坐标利用未知量设出来,但不需求出这些未知量,只需联立方程,判别式0,然后根据韦达定理列出x1+x2,x1x2的关系式,利用弦长公式|AB|=k2+1|x1-x2|=k2+1(x1+x2)2-4x1x2=1+1k2|y1
17、-y2|=1+1k2(y1+y2)2-4y1y2=k2+1|a|,选好公式能减少计算量.对点训练6(2020北京西城一模)设椭圆E:x22+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(1)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1x轴,求四边形ABCD的面积;(2)若直线l2的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(3)在(2)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.1.求椭圆标准方程的两种常用方法定义法根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出
18、椭圆方程待定系数法若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A0,B0,AB)求椭圆的方程,先定性,后定量,利用待定系数法求解,注意焦点位置不定的要讨论.2.椭圆定义的应用技巧求方程通过对题设条件分析、转化后,能够明确动点P满足椭圆的定义,便可直接求解其轨迹方程求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值,可联系到基本不等式求|PF1|PF2|的最值;利用定义|PF1|+|PF2|=2a转化或变形,借助三角形性质求最值3.直线与椭圆相交时有关弦的问题的处理方法一般是先把直线方程
19、与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,注意直线斜率存在与否的讨论和判别式的符号判断的应用.9.5椭圆必备知识预案自诊知识梳理1.(1)(2)=(3)0,2-m0,m2-m,解得0m2,且m1,所以“0m2”是“方程x2m+y22-m=1表示椭圆”的必要不充分条件.5.x24+y2=1由题意,椭圆的焦距2c=23,所以c=3,又离心率e=ca=32,所以a=2,所以b=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.关键能力学案突破例1(1)A(2)A(1)(1)如图,由直线l为F1PF2的外角平分线,lF2M,可得|PM|=|PF2|.而在椭圆E:x225+y29=1
20、中,a=5,2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=10.故选A.(2)因为x24+y2b2=1,则a=2,由0b2可知,焦点在x轴上.因为过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8,所以|BF2|+|AF2|=8-|AB|,当AB垂直于x轴时|AB|最小,|BF2|+|AF2|值最大,此时|AB|=2b2a,又a=2,所以5=8-b2,解得b=3,则椭圆的离心率e=ca=1-b2a2=12.对点训练1(1)D(2)35(1)由椭圆的对称性可知,P,Q两点关于原点对称.设F为椭圆另一焦点,则四边形PFQF为
21、平行四边形,由椭圆定义可知|PF|+|PF|+|QF|+|QF|=4a=20.又|PF|=|QF|,|QF|=|PF|,|PF|+|QF|=10.又PQ为椭圆内过原点的弦,|PQ|min=2b=8,PFQ的周长的最小值为10+8=18.故选D.(2)椭圆x236+y2100=1的两个焦点为F1(0,-8),F2(0,8),由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=20,两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=202,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2=|F1F2|2=162,两式相减得2|PF1|PF2|(1+cosF1PF2)=144
22、.又SPF1F2=12|PF1|PF2|sinF1PF2=18,所以1+cosF1PF2=2sinF1PF2.解得cosF1PF2=35.例2(1)C(2)x218+y29=1或y218+x29=1(3)m-1或1mb0),在椭圆上任取一点P(x0,y0),取焦点F(-c,0),则PF的中点M为x0-c2,y02,根据条件可得y02=x0-c2+4,kPF=y0x0+c=-1,联立两式解得x0=-4,y0=4-c,代入椭圆方程解得a=32,b=3.由此可得椭圆的方程为x218+y29=1,同理,当焦点在y轴上时,椭圆的方程为y218+x29=1.(3)由x2|m|-1+y22-m=1表示焦点在
23、y轴上的椭圆,得2-m|m|-10,解得m-1或1mb0),可得9a2+4b2=1,又a2-b2=5,所以a=15,b=10,故所求的椭圆方程为x215+y210=1.(2)由题意可设椭圆C1:x2a2+y22=1,C2:y22+x2b2=1(a2,0b2),由a2-2a2=2-b22,得ab=2,由2a2-22-b2=22,可得(a2-2)(2-b2)=2,解得a=2,b=1,即椭圆C1的标准方程为x24+y22=1.(3)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a-c,所以a-c=22-2,因为离心率e=22,所以ca=22,解得a=22,c=2,则b2=a2-c2=4,所以椭圆E的方程为x28+
24、y24=1.例3(1)C(2)A(3)D(1)设椭圆的左焦点为F,P为短轴的上端点,连接AF,BF,如下图所示:由椭圆的对称性可知,A,B关于原点对称,则|OA|=|OB|,又|OF|=|OF|,四边形AFBF为平行四边形,AF=BF,又|AF|+|BF|=|BF|+|BF|=2a=6,a=3,点P(0,b)到直线l距离d=|-3b|565,b2,a2-c2=9-c22,即0|MF1|.因为M为椭圆上一点,所以a-c|MF2|a+c,即a-c2a2a+c0,所以e2+2e-10,解得2-1e0,即m2437,即437AB7.当k=0时,|AB|=437.所以437|AB|7.又|OH|=237
25、,所以SAOB=12|AB|OH|=2327|AB|127,3.当圆O的切线斜率不存在时,则AB的方程为x=127,或x=-127.此时A,B的坐标分别为127,127,127,-127或-127,127,-127,-127.此时SAOB=127.综上,AOB面积的取值范围为127,3.例5解设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),则有x122+y12=1,x222+y22=1,两式作差,得(x2-x1)(x2+x1)2+(y2-y1)(y2+y1)=0,因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y2-y1x2-x1=kAB,所以kAB=-x02y0.(1)
26、设弦中点为M(x,y),由式,2=-x2y,所以x+4y=0.故所求的轨迹方程为x+4y=0-43x43.(2)由式及题意可知,弦所在的直线的斜率k=-x02y0=-12,所以其方程为y-12=-12x-12,即2x+4y-3=0.对点训练5A设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),P为AB中点.A,B在椭圆上,则x1216+y124=1,x2216+y224=1,两式相减,得x12-x2216+y12-y224=0,又因为x1+x2=6,y1+y2=2,可得y1-y2x1-x2=-34,则k=-34,直线AB过点P(3,1),所以该弦所在的直线方程为y-1=-34(x-3),整理得
27、3x+4y-13=0.故选A.例6解(1)由题意可得4a2+1b2=1,a=2b,解得a2=8,b2=2,故椭圆C的方程为x28+y22=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为y=k(x+4),与椭圆方程x28+y22=1联立,可得x2+4k2(x+4)2=8,即(4k2+1)x2+32k2x+(64k2-8)=0,则x1+x2=-32k24k2+1,x1x2=64k2-84k2+1.直线MA的方程为y+1=y1+1x1+2(x+2),令x=-4,可得yP=-2y1+1x1+2-1=-2k(x1+4)+1x1+2-x1+2x1+2=-(2k+1)(x1+4)x1+2,
28、同理可得yQ=-(2k+1)(x2+4)x2+2.很明显yPyQb0)相交于A、B两点,线段AB的中点为M(x0,y0),请抽象出弦AB的斜率公式并以结论的形式表达出来,然后给出结论的证明.结论:若M(x0,y0)是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点,则有kAB=-b2x0a2y0.证明设A(x1,y1),B(x2,y2),则有kAB=y1-y2x1-x2,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减,得x12-x22a2+y12-y22b2=0,整理得y12-y22x12-x22=-b2a2,即(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(
29、x1-x2)=-b2a2(x1-x2).因为M(x0,y0)是弦AB的中点,所以kOM=y0x0=2y02x0=y1+y2x1+x2,所以kABkOM=-b2a2即kAB=-b2x0a2y0.当x1=-x2时,AB平行于x轴,此时x0=0,kAB=0,kAB=-b2x0a2y0也成立,综上,kAB=-b2x0a2y0.二、定理的应用应用一求椭圆的基本元素【例1】已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),点F为左焦点,点P为下顶点,平行于FP的直线l交椭圆于A,B两点,且AB的中点为M1,12,则椭圆的离心率为()A.22B.12C.14D.32答案A解析设A(x1,y1),B(x2,y2),A
30、B的中点为M1,12,x1+x2=2,y1+y2=1,又A,B在椭圆上,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1.两式相减,得y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=-b2a2,kAB=y1-y2x1-x2=kFP=-bc,bc=2b2a2,a2=2bc.a4=4(a2-c2)c2,c2a2=12,ca=22.故选A.评析1.中点弦斜率公式适用于有关椭圆的弦的中点问题.2.利用中点弦的斜率公式求离心率,就是根据中点弦斜率与椭圆方程中的a,b,c之间的关系,利用椭圆的有关性质构造齐次方程,抽象转化为解关于a,b,c的方程.应用二求中点弦所在直线方程【例2】过椭圆x216+y24=
31、1内一点M(2,1)画一条弦,使弦被点M平分,则这条弦所在的直线方程为.答案x+2y-4=0解析(方法1)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),M(2,1)为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2,又A,B两点在椭圆上,则x12+4y12=16,x22+4y22=16,两式相减,得(x12-x22)+4(y12-y22)=0,所以y1-y2x1-x2=-x1+x24(y1+y2)=-12,即kAB=-12.故所求直线方程为x+2y-4=0.(方法2)设所求直线方程为y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理得,(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-1
32、6=0.又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个根,于是x1+x2=8(2k2-k)4k2+1,又M为AB的中点,所以x1+x22=4(2k2-k)4k2+1=2,解得k=-12,故所求直线方程为x+2y-4=0.(方法3)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),由于弦的中点为M(2,1),则另一个交点为B(4-x,2-y),因为A,B两点在椭圆上,所以x2+4y2=16,(4-x)2+4(2-y)2=16,两式相减得x+2y-4=0,由于过A,B的直线只有一条,故所求直线方程为x+2y-4=0.评析求中点弦所在的直线方程,一般先利用椭圆中点弦斜率公
33、式求得中点弦的斜率,再根据点斜式求得中点弦所在的直线方程.应用三求曲线轨迹方程【例3】过椭圆x264+y236=1上一点P(-8,0)作直线交椭圆于Q点,则PQ中点的轨迹方程为.答案(x+4)216+y29=1(x-8)解析(方法1)设弦PQ中点为M(x,y),弦端点P(x1,y1),Q(x2,y2),则有9x12+16y12=576,9x22+16y22=576,两式相减得9(x12-x22)+16(y12-y22)=0,又因为x1+x2=2x,y1+y2=2y,所以92x(x1-x2)+162y(y1-y2)=0,所以y1-y2x1-x2=-9x16y,而kPQ=y-0x-(-8),故-9
34、x16y=yx+8.化简可得9x2+72x+16y2=0(x-8).所以PQ中点M的轨迹方程为(x+4)216+y29=1(x-8).(方法2)设弦中点M(x,y),Q(x1,y1),由x=x1-82,y=y12可得x1=2x+8,y1=2y,又因为Q在椭圆上,所以x1264+y1236=1,即4(x+4)264+4y236=1,所以PQ中点M的轨迹方程为(x+4)216+y29=1(x-8).评析求解椭圆的弦中点的轨迹问题,一般利用椭圆中点弦斜率公式求得弦的斜率,再根据已知点与弦中点连线的斜率与已知直线的斜率相等求得轨迹方程,注意弦中点对方程的限制.应用四求参数的范围【例4】已知椭圆x2a2
35、+y2b2=1(ab0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线l与x轴交于点P(x0,0),求证:-a2-b2ax0a2-b2a.证明设AB的中点为M(x1,y1),由题设可知AB与x轴不垂直,y10.由椭圆的中点弦斜率公式,得kAB=-b2a2x1y1,kl=a2y1b2x1.直线l的方程为y-y1=a2y1b2x1(x-x1).把(x0,0)代入得x1=a2a2-b2x0.|x1|a,-aa2a2-b2x0a,即-a2-b2ax0b0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为M(1,-1),则椭圆E的标准方程为()A.x245+y236=1B.x2
36、36+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1答案D解析设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=-2,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,所以kAB=y1-y2x1-x2=-b2(x1+x2)a2(y1+y2)=b2a2.又kAB=0+13-1=12,所以b2a2=12.又a2-b2=c2=9,所以b2=9,a2=18.所以椭圆E的标准方程为x218+y29=1.解题心得本题设出A,B两点的坐标,却不求出A,B两点的坐标,巧妙地表达出直线AB
37、的斜率,通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.技巧三巧用“根与系数的关系”,化繁为简【例3】已知椭圆x24+y2=1的左顶点为A,过点A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点.(1)当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标;(2)当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一个定点?若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由.解(1)当直线AM的斜率为1时,直线AM的方程为y=x+2,代入椭圆方程并化简得5x2+16x+12=0,解得x1=-2,x2=-65.所以点M-65,45.(2)由题意可知直线AM,AN的斜率存在,且不为0.设直线A
38、M的斜率为k(k0),直线AM的方程为y=k(x+2),直线AN的方程为y=-1k(x+2).由y=k(x+2),x24+y2=1,化简得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,则xA+xM=-16k21+4k2.又xA=-2,所以xM=-xA-16k21+4k2=2-16k21+4k2=2-8k21+4k2.同理,可得xN=2k2-8k2+4.当xM=xN时,2-8k21+4k2=2k2-8k2+4,解得k=1.此时直线MN的方程为x=-65,直线MN过x轴上的点-65,0.当xMxN时,k1,因为点M2-8k21+4k2,4k1+4k2,N2k2-8k2+4,-4kk2+4,所以
39、kMN=4k1+4k2+4kk2+42-8k21+4k2-2k2-8k2+4=5k4-4k2,所以直线MN的方程为y-4k1+4k2=5k4-4k2x-2-8k21+4k2.令y=0,得x=-65.所以直线MN过x轴上的点-65,0.综上所述,直线MN过x轴上的定点-65,0.解题心得在圆锥曲线问题中,常设出直线与圆锥曲线的两个交点坐标,联立直线方程与圆锥曲线方程,消元得到一元二次方程,利用根与系数的关系,得到两个交点横坐标或纵坐标的关系.这是解决圆锥曲线问题的常用方法.通过设而不求,大大降低了运算量,体现了整体思想.技巧四巧妙“换元”减少运算量【例4】如图,已知椭圆C的离心率为32,A,B,
40、F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点,且SABF=1-32.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l:y=kx+m与圆O:x2+y2=1相切,若直线l与椭圆C交于M,N两点,求OMN面积的最大值.解(1)由已知得椭圆C的焦点在x轴上,设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则点A(a,0),B(0,b),F(c,0),c=a2-b2.由已知得e2=c2a2=a2-b2a2=34,所以a2=4b2,即a=2b,则c=3b.又SABF=12|AF|OB|=12(a-c)b=1-32,所以12(2b-3b)b=1-32,解得b=1.所以a=2,c=3.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2
41、)圆O的圆心坐标为(0,0),半径r=1,由直线l:y=kx+m与圆O:x2+y2=1相切,得|m|1+k2=1,故m2=1+k2.由x24+y2=1,y=kx+m消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0.由题意可知k0,所以=16(4k2-m2+1)=48k20.设点M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,所以|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=-8km4k2+12-44m2-44k2+1=16(4k2-m2+1)(4k2+1)2=48k2(4k2+1)2,所以|x1-x2|=43|k|4k2+1.所以|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k243|k|4k2+1=43k2(k2+1)4k2+1.所以OMN的面积S=12|MN|1=23k2(k2+1)4k2+1.令t=4k2+1,则t1,k2=t-14,所以S=23t-14t-14+1t2=32(t-1)(t+3)t2=32t2+2t-3t2=32-3t2+2t+1=32-1t-132+49.当t=3,即4k2+1=3,即k=22时,S取得最大值,最大值为3249=1.解题心得圆锥曲线中的最值问题往往转化为函数的最值问题,可先根据已知条件建立目标函数,再求出函数的最值.在求函数的最值时,有时会利用换元,起到消除根号、降次等目的.
