1、第八章平面解析几何8.1坐标法、直线的倾斜角与斜率必备知识预案自诊知识梳理1.平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上两点间的距离公式如果数轴上点A,B的坐标为A(x1),B(x2),则两点之间的距离公式|AB|=|AB|=;如果M(x)是线段AB的中点,则数轴上的中点坐标公式.(2)平面直角坐标系内两点之间的距离公式若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|AB|=;若M(x,y)是线段AB的中点,则平面直角坐标系内的中点坐标公式x=,y=.2.坐标法通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题,然后通过等解决问题的方法称为坐标法.3.直线的倾斜角(1)定义:一般地,给定平面直角
2、坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点按方向旋转到时所转的最小记为,则称为这条直线的倾斜角.(2)当直线与x轴平行或重合时,规定该直线的倾斜角为.(3)倾斜角的取值范围是.4.直线的斜率(1)一般地,如果直线l的倾斜角为,则当90时,称为直线l的斜率;当时,称直线l的斜率不存在.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当时,直线l的斜率为k=y2-y1x2-x1,当时,直线l的斜率不存在.5.直线的方向向量(1)一般地,如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l,则称向量a为直线l的一个方向向量,记作al.(2)如果a为直线l的一个方向
3、向量,那么对于任意的实数0,向量a都是l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量一定.(3)如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则AB=是直线l的一个方向向量.6.直线的法向量一般地,如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直,则称向量v为直线l的一个法向量,记作vl.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法.()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)若直线的斜率为tan ,则其倾斜角为.()(5)直线的方向向量与法向量不唯一.()2
4、.如图所示,直线l的倾斜角为()A.30B.60C.120D.以上都不对3.已知A(2,4),B(-1,3),则A,B两点间的距离为.4.直线l经过点A(2,1)和B(-5,-2),则直线l的一个方向向量为.5.已知三点A(a,2),B(3,7),C(-2,-9a)在同一条直线上,实数a的值为.关键能力学案突破考点两点间距离公式的应用【例1】已知ABC的三个顶点分别是A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).(1)判断ABC的形状;(2)求ABC的面积.解题心得判断三角形形状的方法(1)采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定证明的方向.(2)利用两点间的距离公式,分别计算三角形三
5、边的长度,根据三角形边的长度特征,主要考查边是否相等或是否满足勾股定理.对点训练1若等腰三角形ABC的顶点A为(3,0),底边BC的长为4,BC边的中点为D(5,4),求等腰三角形ABC的腰长.考点坐标法的应用【例2】如图所示,四边形ABCD为等腰梯形,利用坐标法证明梯形ABCD的对角线|AC|=|BD|.解题心得利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立平面直角坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上;(2)用坐标表示有关的量;(3)将几何关系转化为坐标运算;(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.对点训练2已知ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系.证明:|AM|=
6、12|BC|.考点直线的倾斜角【例3】(多选)设直线l过坐标原点,它的倾斜角为,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45,得到直线l1,那么l1的倾斜角为()A.+45B.-135C.135-D.-45解题心得求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)两点注意:当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90.注意直线倾斜角的取值范围是0180.对点训练3已知直线l1的倾斜角为1=15,直线l1与l2的交点为A,直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120,如图所示,则直线l2的倾斜角为.考点直线的斜率【例4】已知直线l过
7、点M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90?变式发散1本例条件不变,试求当直线l的倾斜角为锐角时,实数m的取值范围.变式发散2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何?解题心得求斜率时要注意斜率公式的适用范围,若给出直线上两个点的坐标,首先要观察横坐标是否相同,若相同,则斜率不存在;若不相同,则可使用斜率公式.若给出两个点的横坐标中含有参数,则要对参数进行分类讨论,分类的依据是“两个横坐标是否相等”.对点训练4如图所示,直线l1,l2,l3都经过点P(3,2),又l1,l2,l3分
8、别经过点Q1(-2,-1),Q2(4,-2),Q3(-3,2).(1)试计算直线l1,l2,l3的斜率;(2)若还存在点Q4(a,3),试求直线PQ4的斜率.考点求直线的方向向量或法向量【例5】已知直线l通过点A(1,2),B(4,5),求直线l的一个方向向量和法向量,并确定直线l的斜率与倾斜角.解题心得求方向向量和法向量的方法(1)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线上的两个不同的点,则直线l的方向向量为AB=(x2-x1,y2-y1),直线的法向量和方向向量垂直.(2)直线的方向向量和法向量不唯一.对点训练5已知直线l经过点M(3,3)和N(2,3+3),求直线l的一个方向向量和法向量,并求直线l的斜率和倾斜角.
