1、7.2平面的基本事实与推论、平行直线与异面直线必备知识预案自诊知识梳理1.平面的基本事实公理内容图形符号作用基本事实1经过的3个点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线存在唯一的平面使A,B,C确定平面的依据;判定点、线共面基本事实2如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线在这个平面内如果A,B,那么直线AB判定直线是否在平面内基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们的公共直线如果A,A,则=a且Aa判定两个平面相交的依据;判定点在直线上2.三个推论文字语言图形语言符号语言推论1经过一条直线和一点,有且只有一个平面点A直线BC存在唯一的平面,推论2经过两条直线,有且只有一个平面直
2、线AB直线AC=A存在唯一的平面,使,且推论3经过两条直线,有且只有一个平面lm存在唯一的平面,使3.平行直线(1)定义:在同一平面内的两条直线称为平行直线.(2)空间平行线的传递性平行于同一条直线的两条直线互相.即ab,ac,则bc.4.等角定理(1)文字表述:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应,并且方向,那么这两个角.(2)符号表述:ACACABABAC与AC方向相同AB与AB方向相同BAC=BAC.5.空间四边形连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形,其中4个点都是空间四边形的,连接顶点间的线段称为空间四边形的边,连接顶点间的线段称为空间四边形的对角线.考点自诊1.判断下列结论
3、是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)如果两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作=a.()(2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于过A点的任意一条直线.()(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.()(4)两两相交的三条直线一定共面.()(5)若a,b是两条直线,是两个平面,且a,b,则a,b是异面直线.()2.在空间中可以确定一个平面的条件是()A.两条直线B.一点和一条直线C.三个点D.梯形3.如图,=l,A,B,C,且Cl,直线ABl=M,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M4.设P表示一
4、个点,a,b表示两条直线,表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是(填序号).Pa,Pa;ab=P,ba;ab,a,Pb,Pb;=b,P,PPb.5.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形;(2)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为正方形.关键能力学案突破考点证明点、线共面问题【例1】已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交,证明:这四条直线共面.解题心得点线共面问题的证明方法(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;(2)辅助平面法:先证明有关点、线确定平面,再证明
5、其余点、线确定平面,最后证明平面,重合.对点训练1如图所示,已知Al,Bl,Cl,Dl,求证:直线AD,BD,CD共面.考点证明点共线【例2】如图,ABC在平面外,AB=P,AC=Q,BC=R.求证:P,Q,R三点共线.解题心得证明点共线问题的常用方法(1)基本性质法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.对点训练2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和D1C1的中点,P,Q分别为EF和BD的中点,体对角线A1C与平面EFDB交于H点,求
6、证:P,H,Q三点共线.考点证明线共点【例3】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.解题心得证明多线共点问题,常用的方法是:先证明其中两条直线交于一点,再证明交点在第三条直线上.证明交点在第三条直线上时,第三条直线应为前两条直线所在平面的交线,可以用基本事实3证明.对点训练3如图所示,在空间四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG=13BC,CH=13DC.求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)直线FH,EG,AC共点.考点空间两条直
7、线的位置关系的判断【例4】若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交【例5】如图所示,AB,CD是异面直线,求证:直线AC,BD是异面直线.解题心得异面直线的判定方法对点训练4如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有.(填上所有正确答案的序号)考点基本事实4及等角定理的应用【例6】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;(2)求证:BMC=B1M1C1.解题心得(1)证明空间两条直线平行的方法:定义法:证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.(2)证明空间角相等的方法:一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.对点训练5如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为棱AD,AB,B1C1,C1D1的中点.求证:EA1F=E1CF1.
