1、10.5二项分布与超几何分布、正态分布必备知识预案自诊知识梳理1.n次独立重复试验在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.2.二项分布一般地,如果一次伯努利试验中,出现“成功”的概率为p,记q=1-p,且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是0,1,k,n,而且P(X=k)=,k=0,1,n,因此X的分布列如下表所示.X01knPCn0p0qnCn1p1qn-1Cnkpkqn-kCnnpnq0注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q+p)n=Cn0p0qn+Cn1p1qn-1+Cnkpkqn-
2、k+Cnnpnq0中对应项的值,因此称X服从参数为n,p的二项分布,记作.3.超几何分布(1)定义:一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M5)=P(X-1)=0.2,则P(2X5)=.关键能力学案突破考点求独立重复试验的概率【例1】甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响.(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率;(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.解题心得利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公
3、式Pn(k)=Cnkpk(1-p)n-k的三个条件:在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.变式发散例1条件下,假设某人连续2次未击中目标,则中止其射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?对点训练1一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为
4、12,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率为多少?考点二项分布及其应用【例2】“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”,某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在50,100内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出200份,统计得分绘出频率分布直方图如图.(1)求出图中a的值,并求样本中,答卷成绩在80,90)上的人数;(2)以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取4名,记成
5、绩在80分以上(含80分)的人数为X,求X的分布列.解题心得利用二项分布解决实际问题的关键是建立二项分布模型,解决这类问题时要看它是否为n次独立重复试验,随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布.对点训练2一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为12,13,现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物,如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲类组”.(1)求一个试用组为“
6、甲类组”的概率;(2)观察3个试用组,用表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求的分布列.考点超几何分布【例3】(2020北京人大附中月考)为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.性别套数12345男生14322女生01331(1)从这个班的学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生完成套卷数之和为4的概率;(2)若从完成套卷数不少于4的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X,求随机变量X的分布列.解题心得求超几何分布的分布列的步骤第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变
7、量取每一个值时的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.对点训练3PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:PM2.5日均值(微克/立方米)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰
8、有一天空气质量达到一级的概率;(2)从这10天的数据中任取3天数据,记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求的分布列.考点正态分布及其应用考向1正态分布的概率计算【例4】(1)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X4)=0.158 7,则P(2X0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有人.解题心得正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=对称,曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3原则求概率问题时,要注意把给
9、出的区间或范围与正态变量的,进行对比联系,确定它们属于-,+,-2,+2,-3,+3中的哪一个.对点训练4(1)(2020河北开滦高三检测)已知随机变量XN(7,4),且P(5X9)=a,P(3X11)=b,则P(3Xc)=P(c-2),则实数c的值是()A.4B.3C.2D.1考向2正态分布的实际应用【例5】为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在-3,+3之外的零件数,求P(X1)及X的均值.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在-3,+3之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.试说明上述监控生产过程方法的合理性;下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95,10.12,9.96,9.96,10.01,9.92,9.98,10.04,10.26,9.91,10.13,10.02,9.22,10.04,10.05,9.95.经计算得
