1、1.3等式、不等式的性质与均值不等式必备知识预案自诊知识梳理1.等式的性质(1)如果a=b,则对任意c,都有a+c=b+c;(2)如果a=b,则对任意的c,都有ac=bc.2.两个实数比较大小的方法(1)作差法a-b0ab,a-b=0ab,a-b1ab(aR,b0),ab=1ab(aR,b0),ab0).3.不等式的性质别名性质内容注意性质1可加性如果ab,那么a+cb+c可逆性质2可乘性如果ab,c0,那么acbcc的符号性质3如果ab,cb,bc,那么ac同向性质5对称性abbc,则ac-b变号推论2同向可加性如果ab,cd,那么a+cb+d同向推论3同向同正可乘性如果ab0,cd0,那么
2、acbd同向,正项推论4乘方法则如果ab0,那么anbn(nN,n1)同正推论5开方法则如果ab0,那么ab同正4.均值不等式如果a,b都是正数,那么a+b2ab,当且仅当a=b时,等号成立.其中数a+b2称为a,b的算术平均值,数ab称为a,b的几何平均值.5.利用均值不等式求最值已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2p(简记:积定和最小).(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是s24(简记:和定积最大).1.若ab0,m0,则bab-ma-m(b-m0);aba+mb+m;ab0).2.a2+b22ab(a,bR),当
3、且仅当a=b时,等号成立.3.aba+b22(a,bR),当且仅当a=b时,等号成立.4.a2+b22a+b22(a,bR),当且仅当a=b时,等号成立.5.ba+ab2(a,b同号),当且仅当a=b时,等号成立.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)abac2bc2.()(2)ab0,cd0adbc.()(3)若ababb2.()(4)两个不等式a2+b22ab与a+b2ab成立的条件是相同的.()(5)y=sin x+4sinx(0xNB.M=NC.Mb,cd,则下列结论中正确的是()A.adbcB.a-cb-dC.acbdD.a+cb+d4.(2020山东潍
4、坊临朐模拟一,3)设p:a,b是正实数,q:a+b2ab,则()A.p是q的充分条件但不是必要条件B.p是q的必要条件但不是充分条件C.p是q的充要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件5.(2020山东淄博4月模拟,14)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为.关键能力学案突破考点比较两个数(式)的大小【例1】(1)已知a,b(0,1),且ab,下列各式中最大的是()A.a2+b2B.2abC.2abD.a+b(2)若a=ln33,b=ln44,c=ln55,则()A.abcB.cbaC.cabD.bab0,m0,则()A.ba=b+ma+mB.bab+ma+m
5、C.bab+ma+mD.ba与b+ma+m的大小关系不确定(2)已知a,b是实数,且eab,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是.考点不等式的性质及应用【例2】(1)(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是()A.b-ac+aB.c2caD.|b|cb1,c0,则()A.cacbB.cacbC.aclogb(a-c)解题心得1.已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用不等式同向可加性、同向同正可乘性;2.不等式两边都乘以一个负数时要改变不等号的方向;3.当不等式两边异号时,两边同时平方后不等号不确定;4.当ab0时
6、,对不等式ab两边取倒数,即两边同乘以1ab,化简得1b1a.对点训练2(1)已知1a1b0,给出下列三个结论:a22;lg a2lg ab.其中所有正确结论的序号是()A.B.C.D.(2)(多选)(2020山东青岛5月模拟,9)设a,b,c为实数,且ab0,则下列不等式中正确的是()A.log2(ab)log2b2B.ac2bc2C.ba112b考点均值不等式及其应用(多考向探究)考向1利用均值不等式证明不等式【例3】已知a,b,c0,且a+b+c=1,求证:(1)1a+1b+1c9;(2)1a-11b-11c-18.解题心得利用均值不等式证明不等式时,首先观察题中要证明的不等式的形式,若
7、不能直接使用均值不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用均值不等式的条件;若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.对点训练3已知a0,b0,a+b=1,求证:1+1a1+1b9.考向2求不含等式条件的最值问题【例4】(1)已知x0,则函数y=4x2-x+1x的最小值为()A.1B.3C.6D.8(2)(2020山西运城期末,理15)对任意的0,2,不等式1sin2+4cos22x-1恒成立,则实数x的取值范围是.解题心得1.应用均值不等式应注意:(1)在应用均值不等式求最
8、值时,判断是否具备了应用均值不等式的条件,即“一正各项均为正;二定积或和为定值;三相等等号能否取得”.2.在利用均值不等式求不含条件等式的最值时,先根据式子的特征灵活变形,配凑出积或和为常数的等式,再利用均值不等式求最值.对点训练4(1)设x0,则函数y=(x+5)(x+2)x+1的最小值为.(2)若a,bR,ab0,则a4+4b4+1ab的最小值为.考向3求含有等式条件的最值问题【例5】(1)若x0,y0,x+2y=1,则xy2x+y的最大值为()A.14B.15C.19D.112(2)(2020天津,14)已知a0,b0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为.解题心得1.条件最
9、值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造积或和为常数的式子,然后利用均值不等式求解最值.求最值时要注意其中变量的条件,有些不能用均值不等式的问题可考虑利用函数的单调性.2.多次使用均值不等式求最值时,要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号.对点训练5(1)(2020江西名校大联考,理11)若x0,y-1且满足2x+y=1,则2x2+1x+y2y+1的最小值是()A.3B.32+2C.22D.12+2(2)(2020辽宁实验中学五模,文9)已知实数x,y满足x2-xy+y2=1,则
10、x+y的最大值为()A.1B.2C.3D.4考向4均值不等式的实际应用【例6】某厂家拟定在2021年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足x=3-km+1(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?解题心得1.利用均值不
11、等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用均值不等式求解.2.在求所列函数的最值时,当用均值不等式时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.对点训练6为改善实体店经营状况,某童装专卖店拟举行促销活动,经调查,该品牌童装的年销量x万件与年促销费用t(t0)万元满足x=4-32t+1,已知每年该专卖店的固定投入为7万元,每件童装进价为12元,销售价格定为212x+18元.(1)将该专卖店2020年的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;(2)该专卖店2020年的年促销费用投入多少万元时,利润最大?
