1、高考资源网（） 您身边的高考专家5.5数学归纳法最新课程标准 1.理解数学归纳法的原理及其使用范围2会利用数学归纳法证明一些简单问题.教材要点知识点一归纳法由有限多个个别的特殊事例得出_的推理方法，通常称为归纳法设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，归纳推理，得当nN且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.提示依题意，先求函数结果的分母中x项的系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，可推知an2n1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，故其通项bn2n，所以当n2时，fn(
2、x)f(fn1(x).答案知识点二数学归纳法对于某些与自然数有关的数学命题，常采用下面的方法和步骤来证明它的正确性：(1)证明当n取_(例如n00，n01等)时命题成立(2)假设当_(k为自然数，kn0)时命题正确，证明当_时命题也正确在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确这种证明方法叫做数学归纳法基础自测1一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，第n层和第n1层花盆总数分别是f(n)和f(n1)，则f(n)与f(n1)的关系为()Af(n1)f(n)n1 Bf(n1)f(n)nCf(n1)f(n)2n Df(n1)f(n)12在应用数学归纳法
3、证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A1 B2C3 D03用数学归纳法证明等式“135(2n1)n2”时，从k到k1左边需增加的代数式为()A2k2 B2k1C2k D2k14用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xnyn能被xy整除”时，在归纳假设中，假设当nk时命题成立，那么下一步应证明n_时命题也成立题型一数学归纳法的概念例1用数学归纳法证明：1aa2an1(a1，nN)，在验证n1成立时，左边计算的结果是()A1B1aC1aa2 D1aa2a3注意左端特征，共有n2项，首项为1，最后一项为an1.方法归纳1验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始
4、值不一定为1.2递推是关键：正确分析由nk到nk1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障跟踪训练1 下列四个判断中，正确的是()A式子1kk2kn(nN)，当n1时为1B式子1kk2kn1(nN)，当n1时为1kC式子(nN)，当n1时为1D设f(n)(nN)，则f(k1)f(k)题型二用数学归纳法证明等式例2用数学归纳法证明：1(nN)要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k1)相比左边增两项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同因此，由“nk”到“nk1”时要注意项的合并方法归纳1用数学归纳法证明恒等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少
5、项，项的多少与n的取值是否有关由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项2利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述nn0时命题的形式，二是要准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点并且一定要记住：在证明nk1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节跟踪训练2用数学归纳法证明：(其中nN)题型三数学归纳法证明整除问题例3求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN.对于多项式A，B，如果ABC，C也是多项式，那么A能被B整除若A，B都能被C整除，则AB，AB也能被C整除方法归纳利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式这就往
6、往要涉及到“添项”“减项”与“因式分解”等变形技巧，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得证跟踪训练3求证：n3(n1)3(n2)3能被9整除题型四证明几何命题例4平面内有n(n2，nN)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论(1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明方法归纳1从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系2利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由nk到nk1时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要弄清原因跟踪训练4在本例中，探究这
7、n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明题型五数学归纳法证明不等式例5已知Sn1(n1，nN)，求证：S2n1(n2，nN)求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n1)，首先验证n2，然后证明归纳递推方法归纳此题容易犯两个错误，一是由nk到nk1项数变化弄错，认为的后一项为，实际上应为；二是共有多少项之和，实际上 2k1到2k1是自然数递增，项数为2k1(2k1)12k.跟踪训练5若在本例中，条件变为“设f(n)1(nN)，由f(1)1， f(3)1，f(7)，f(15)2，” .试问：你能得到怎样的结论？并加以证明教材反思易错点1应用数学归纳法
8、时的常见问题有哪些？第一步中的验证，n取的第一个值n0不一定是1，n0指的是适合命题的第一个自然数不是一定从1开始，有时需验证n2等对nk1时式子的项数以及nk与nk1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障“假设nk时命题成立 ，利用这一假设证明nk1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范2如何理解归纳假设在证明中的作用？归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，联结第一个值n0和后续的n值所对应的情形在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明否则，就不是数学归纳法3为什么数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的
9、问题呢？这是因为第一步首先验证了n取第一个值n0时成立，这样假设就有了存在的基础假设nk成立，根据假设和合理推证，证明出nk1也成立这实质上是证明了一种循环如验证了n01成立，又证明了nk1也成立这就一定有n2成立，n2成立，则n3也成立；n3成立，则n4也成立如此反复，以至无穷对所有nn0的整数就都成立了数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题，这就是数学方法的神奇55数学归纳法新知初探自主学习知识点一一般结论知识点二(1)初始值n0(2)nknk1基础自测1答案：A2解析：边数最少的凸n边形是三角形答案：C3解析：等式“135(2n1)n2”中，当nk时，等式的左边135(2k1)
10、，当nk1时，等式的左边135(2k1)2(k1)1135(2k1)(2k1)，从k到k1左边需增加的代数式为2k1.答案：D4解析：两个奇数之间相差2，nk2.答案：k2课堂探究素养提升例1解析：实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an1，所以n1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1aa2.答案：C跟踪训练1解析：对于选项A，n1时，式子应为1k；选项B中，n1时，式子应为1；选项D中，f(k1)f(k).答案：C例2解析：当n1时，左边1右边，所以等式成立假设nk(k1，kN)时等式成立，即1.则当nk1时，左边1右边，所以，nk1时等式成立由知，等式对任意
11、nN成立跟踪训练2证明：(1)当n1时，等式左边，等式右边，等式成立(2)假设nk(k1，kN)时等式成立，即成立，那么当nk1时，即nk1时等式成立由(1)(2)可知，对任意nN等式均成立例3证明：(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立(2)假设nk(kN，且k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设，得上式中的两项均能被a2a1整除，故nk1时命题成立由(1)(2)知，对nN，命
12、题成立跟踪训练3证明：(1)当n1时，13(11)3(12)336,36能被9整除，命题成立(2)假设nk(k1，kN)时，命题成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除则nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k233k3233k3(k1)3(k2)39(k23k3)，由归纳假设知，上式都能被9整除，故nk1时，命题也成立由(1)和(2)可知，对nN命题成立例4解析：当n2时，f(2)1 ；当n3时，f(3)3；当n4时，f(4)6.因此猜想f(n)(n2，nN)，下面利用数学归纳法证明：(1)当n2时，两条相交直线有一个交点，又f(2)2(21)1，n2时，命题成
13、立(2)假设当nk(k2且kN)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)k(k1)当nk1时，任何其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，lk.由归纳假设知，它们之间的交点个数为f(k).由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，lk的交点共有k个f(k1)f(k)kk.当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，命题对一切nN且n2时成立跟踪训练4解析：设分割成线段或射线的条数为f(n)则f(2)4，f(3)9，f(4)16.猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)n2(n2)，下面利用数学归纳法证明(1)当n2时，显然成立(
14、2)假设当nk(k2，且kN)时，结论成立，f(k)k2，则当nk1时，设有l1，l2，lk，lk1共k1条直线满足题设条件不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，lk，lk1互相分割成f(k)k2条射线或线段直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k1条射线或线段k条直线l2，l3，lk1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条故f(k1)f(k)k1kk22k1(k1)2.当nk1时，结论正确由(1)(2)可知，上述结论对一切n2均成立例5解析：(1)当n2时，S2211，即n2时命题成立(2)假设nk(k2，kN)时命题成立，即S2k11.当nk1时，S2k111111.故当nk1时，命题也成立由(1)(2)知，对nN，n2，S2n1都成立跟踪训练5解析：数列1,3,7,15，通项公式为an2n1，数列，1，2，通项公式为an，猜想：f(2n1).下面用数学归纳法证明：当n1时，f(211)f(1)1，不等式成立假设当nk(k1，kN)时不等式成立，即f(2k1)，当nk1时，则f(2k11)f(2k1)f(2k1)f(2k1).当nk1时不等式也成立据知对任何nN原不等式均成立- 14 - 版权所有高考资源网
