1、第三节平面向量的数量积命题分析预测学科核心素养本节在高考中主要考查向量的数量积运算，利用向量数量积解决模长、夹角问题，平行或垂直问题，有时也会与三角函数、平面解析几何进行交汇命题，主要以小题的形式出现，难度不大本节主要通过平面向量的数量积及其应用考查考生的数学运算、直观想象核心素养授课提示：对应学生用书第93页知识点一向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是a与b的夹角设是a与b的夹角，则的取值范围是01800或180ab，90ab 温馨提醒 对于两个非零向量a与b，由于当0时，ab0，所以ab0是两个向量a，b夹角为锐角的必要不充分条件；ab0也不能推出
2、a0或b0，因为ab0时，有可能ab1若向量a，b满足|a|，b（2，1），ab5，则a与b的夹角为（）A90B60C45 D30解析：b（2，1），|b|，|a|，ab5，cosa，b又a，b0，a与b的夹角为45答案：C2（易错题）已知两个非零向量a与b的夹角为，则“ab0”是“为锐角”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：由ab0，可得到，不能得到；而由，可以得到ab0答案：B知识点二平面向量的数量积1平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|
3、b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积2向量数量积的运算律（1）abba（2）（a）b（ab）a（b）（3）（ab）cacbc3平面向量数量积的有关结论已知非零向量a（x1，y1），b（x2，y2），a与b的夹角为结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2| 温馨提醒 1数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac（a0）不能得出bc，两边不能约去一个向量2ab0不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab3在用
4、|a|求向量的模时，一定要先求出a2再进行开方1已知ab12，|a|4，a和b的夹角为135，则|b|为（）A12 B6C3 D3解析：ab|a|b|cos 13512，所以|b|6答案：B2已知向量a（2，1），b（1，k），a（2ab）0，则k_解析：因为2ab（4，2）（1，k）（5，2k），由a（2ab）0，得（2，1）（5，2k）0，所以102k0，解得k12答案：123（易错题）已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202答案：24设向量a（1，2），b（m，1），如果向量a
5、2b与2ab平行，那么a与b的数量积等于_解析：a2b（12m，4），2ab（2m，3），由题意得3（12m）4（2m）0，则m，所以ab121答案：授课提示：对应学生用书第94页题型一平面向量数量积的计算1（2021西安模拟）已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a（2ab）（）A4B3C2 D0解析：因为|a|1，ab1，所以a（2ab）2a2ab21（1）3答案：B2（2019高考全国卷）已知（2，3），（3，t），|1，则（）A3 B2C2 D3解析：因为（1，t3），所以|1，解得t3，所以（1，0），所以21302答案：C3已知梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，且BAD90，A
6、B2，AD1若点Q满足2，则（）A BC D解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则Q，D（0，1），C（1，1），所以，所以1答案：D4（2019高考天津卷）在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则_解析：在等腰ABE中，易得BAEABE30，故BE2，则（）（）252cos 3052cos 1801222cos 15015101261答案：1求向量a，b的数量积ab的三种方法（1）若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起
7、点重合，再计算（2）根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解（3）若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解题型二平面向量数量积的应用平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题常见的命题角度有：（1）平面向量的模；（2）平面向量的夹角；（3）平面向量的垂直考法（一）平面向量的模例1（1）（2020高考全国卷）设a，b为单位向量，且|ab|1，则|ab|_（2）已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动
8、点，则|3|的最小值为_解析（1）将|ab|1两边平方得a22abb21a2b21，12ab11，即2ab1|ab|（2）建立平面直角坐标系如图所示，则A（2，0），设P（0，y），C（0，b），则B（1，b），则3（2，y）3（1，by）（5，3b4y）所以|3|（0yb）当yb时，|3|min5答案（1）（2）51求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：（1）a2aa|a|2或|a|（2）|ab|（3）若a（x，y），则|a|2与模有关的最值或范围问题要注意抓住模的几何意义及数形结合思想的应用考法（二）平面向量的夹角例2（1）（2019高考全国卷）已知a，b为单位向量，且ab0，若
9、c2ab，则cosa，c；（2）已知向量a（，6），b（1，2），若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_解析（1）由题意，得cosa，c（2）向量a与b的夹角为钝角，ab（，6）（1，2）1212当a与b共线时，设akb（k0），可得解得即当3时，向量a与b共线且反向，此时ab0且a与b不共线；非零向量a与b夹角为钝角ab0且a与b不共线考法（三）平面向量的垂直例3（1）（2020高考全国卷）设向量a（1，1），b（m1，2m4），若ab，则m_（2）已知向量与的夹角为120，且|3，|2若，且，则实数的值为_解析（1）ab，ab0又a（1，1），b（m1，2m4），1（m1）（1）（2m4）
10、0，解得m5（2）因为，所以0又，所以（）（）0，即（1）220，所以（1）|cos 120940，所以（1）32940，解得答案（1）5（2）1当向量a与b是坐标形式时，若证明ab，则只需证明ab0x1x2y1y202当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明ab0题组突破1已知非零向量a，b，c满足abc0，且a与b的夹角为120，|b|2|a|，则a与c的夹角为（）A60B150C120D90解析：由abc0，得c（ab），所以aca（ab）|a|2ab|a|22|a|2cos 120|a|2|a|20故夹角为90
11、答案：D2（2020高考全国卷）已知单位向量a，b的夹角为45，kab与a垂直，则k_解析：由题意知（kab）a0，即ka2ba0因为a，b为单位向量，且夹角为45，所以k12110，解得k答案：平面向量数量积应用中的核心素养数学运算向量问题坐标化应用例如图所示，已知矩形ABCD中，AB3，BC2，该矩形所在的平面内一点P满足|1，记I1，I2，I3，则（）A存在点P，使得I1I2B存在点P，使得I1I3C对任意的点P，有I2I1D对任意的点P，有I3I1解析以C为原点，以CD，CB所在直线为x轴，y轴负半轴建立平面直角坐标系（图略），则A（3，2），B（0，2），D（3，0），（3，0），（
12、3，2），（0，2）|1，可设P（cos ，sin ），（cos 3，sin 2），I13cos 9，I23cos 2sin 13，I32sin 4，I2I12sin 40，I2I1，A错误，C正确；I3I152sin 3cos 5sin（）0，I3I1，B错误，D错误答案C向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷对点训练ABC中，A90，AB2，AC1，设点P，Q满足，（1）若2，则（）ABC D2解析：以点A为坐标原点，以的方向为x轴的正方向，以的方向为y轴的正方向，建立如图所示平面直角坐标系，由题知B（2，0），C（0，1），P（2，0），Q（0，1），（2，1），（2，1）2132，解得答案：A
