1、第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1四种命题(1)四种命题及其相互关系：(2)互为逆否命题的真假判断：互为逆否的两个命题同真或同假2充分条件与必要条件的判断若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且q p1.区别两个说法(1)“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论(2)“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论2.充要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p
2、是r的充分(必要)条件1(基础知识：命题关系)命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是()A若xy，则x2y2 B若xy，则x2y2C若xy，则x2y2 D若xy，则x2y2答案：B2(基本方法：必要条件定义)“(x1)(x2)0”是“x1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：B3(基本能力：转化能力)“xy”是“x2y2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：B4(基本方法：集合法)设p：x3，q：1x3，则p是q成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：B5(基本应
3、用：用条件关系求参数)若“x2”是“xm”的必要不充分条件，则m的取值范围是_答案：(2，)题型一四种命题及其关系1(四种命题关系)给出下列命题：“若xy1，则lg xlg y0”的逆命题；“若abac，则a(bc)”的否命题；“若b0，则方程x22bxb2b0有实根”的逆否命题；“等边三角形的三个内角均为60”的逆命题其中真命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：对于，“若xy1，则lg xlg y0”的逆命题为“若lg xlg y0，则xy1”，该命题为真命题；对于，“若abac，则a(bc)”的否命题为“若abac，则a不垂直于bc”，由abac可得a(bc)0，据此可得a不垂直于bc
4、，该命题为真命题；对于，若b0，则方程x22bxb2b0的根的判别式(2b)24(b2b)4b0，方程有实根，原命题为真命题，则其逆否命题为真命题；对于，“等边三角形的三个内角均为60”的逆命题为“三个内角均为60的三角形为等边三角形”，该命题为真命题答案：D2(四种命题关系)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，假，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假解析：易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，设z134i，z243i，则有|z1|z2|，但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为
5、假答案：B3(命题的真假判定)关于函数f(x)sin |x|sin x|有下述结论：f(x)是偶函数；若x，则f(x)为增函数；f(x)在0，2上有3个零点其中所有正确的结论是_(填序号)解析：由f(x)f(x)恒成立，正确当x时，f(x)2sin x为增函数，正确当x(，2)时，|sin x|sin x，f(x)sin xsin x0，有无数个零点，错误答案：方法总结 1四种命题真假性的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系2判断命题真假的方法方法解读适合题型直接法判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明简单命题判
6、断反例法说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可简单命题判断转化法转化为等价的逆否命题复杂命题题型二充分条件、必要条件的判断典例剖析类型 1给出条件，判断条件例1(1)若l，m是两条不同的直线，是一个平面，且m，则“lm”是“l”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：当直线l在平面内时，由“lm”推不出“l”，可知充分性不成立；若“l”，由线面平行的性质，可知在平面内一定存在一条直线n与l平行，又m，所以mn，则ml，可知必要性成立，所以“lm”是“l”的必要不充分条件答案：B(2)设p：关于x的方程4x2xa0有解；q：关于x的不等式log2(xa
7、2)0对于x0恒成立，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若p成立，则a4x2x，所以a，即a的取值范围为；若q成立，则xa21，所以a3x对x0恒成立，则a3，即a的取值范围为3，).由于3，) ，所以p是q的必要不充分条件答案：B(3)已知条件p：x1或x3，条件q：5x6x2，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：由x25x60得q为(2，3)，qp，q是p的充分不必要条件，p是q的充分不必要条件答案：A方法总结1充分条件与必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断(2)
8、集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题2充分条件与必要条件的两种判断方法条件定义法集合法：Ax|p(x)，Bx|q(x)p是q的充分条件pqABp是q的必要条件qpABp是q的充要条件pq且qpABp是q的充分不必要条件pq且q / pABp是q的必要不充分条件p q且qpABp是q的既不充分也不必要条件p / q且q / pAB且AB类型 2寻找条件，进行判断例2(1)若x，yR，则“xy”的一个充分不必要条件是()A|x|y| Bx2y2C Dx3y
9、3解析：由|x|y|，x2y2未必能推出xy，排除选项AB；由可推出xy，反之未必成立，选项C成立；而x3y3是xy的充要条件，排除选项D.答案：C(2)命题“x1，2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是()Aa4 Ba4Ca5 Da5解析：命题“x1，2，x2a0”为真命题，可化为“x1，2，ax2”恒成立，即只需a(x2)max4，即“x1，2，x2a0”为真命题的充要条件为a4，而要找的是一个充分不必要条件，即为集合a|a4的真子集，可知选项C符合题意答案：C方法总结将条件关系看作命题，借助原命题、逆命题的真假及推导关系寻找条件题组突破1设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是
10、“|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知，所以|等价于|，因为模为正，故不等号两边平方得222|cos 222|cos (为与的夹角)，整理得4|cos 0，故cos 0，即为锐角又以上推理过程可逆，所以“ 与的夹角为锐角”是“|”的充要条件答案：C2设xR，则“”是“x31”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：由得x，解得0x1.由x31得x1.当0x1时能得到x1一定成立；当x1时，0x1不一定成立，所以“”是“x31”的充分不必要条件答案：A3下面四个
11、条件中，使ab成立的充分不必要条件是()Aab1 Bab1Ca2b2 Da3b3解析：选项A中，ab1b，反之ab推不出ab1；选项B中，abb1，反之ab1推不出ab，为必要不充分条件；选项C为既不充分也不必要条件；选项D为充要条件答案：A题型三充分条件、必要条件的应用 典例剖析典例(2021南昌模拟)已知r0，x，yR，p：|x|1，q：x2y2r2.若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是()A B(0，1C D2，)审题互动：p、q的几何意义是什么？p、q的包含关系如何？解析：画出|x|1表示的平面区域(图略)，由图可得p对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x0，y0时，可得菱形
12、的一边所在的直线方程为x1，即2xy20.由p是q的必要不充分条件，可得圆x2y2r2的圆心(0，0)到直线2xy20的距离dr，又r0，所以实数r的取值范围是.答案：A方法总结 1根据充分、必要条件求参数的取值范围的关键是合理转化条件，再结合有关性质和定理等得到关于参数的方程(组)或不等式(组)，然后通过解方程(组)或者不等式(组)得到参数的取值范围2要注意对区间端点值的检验尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象对点训练已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，则m的取值范围为_
13、解析：由x28x200得2x10，所以Px|2x10由xP是xS的必要条件，知SP.则所以0m3，所以当0m3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是0，3.答案：0，3(2019高考浙江卷)若a0，b0，则“ab4”是“ab4”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：法一(通解)：因为a0，b0，所以ab2，由ab4可得24，解得ab4，所以充分性成立；当ab4时，取a8，b，满足ab4，但ab4，所以必要性不成立所以“ab4”是“ab4”的充分不必要条件法二(创新解法)：在同一坐标系内作出函数b4a，b的图象，如图所示，则不等式ab4与ab
14、4表示的平面区域分别是直线ab4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b及其左下方(第一象限中的部分)，易知当ab4成立时，ab4成立，而当ab4成立时，ab4不一定成立答案：A(2021安阳开学调研)已知函数f(x)(x2a2x1)ex，则“a”是“函数f(x)在x1处取得极小值”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析： 易知函数f(x)的定义域为R，对f(x)求导，得f(x)(2xa2)ex(x2a2x1)exx2(a22)xa21ex(xa21)(x1)ex.若a，则f(x)在x1处取得极小值；若f(x)在x1处取得极小值，只需a不为0，所以“a”是“函数f(x)在x1处取得极小值”的充分不必要条件答案：A
