1、课时素养评价 四向量的数量积 (20分钟35分)1.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60,则aa+ab等于()A.B.C.1+D.2【解析】选B.aa+ab=|a|2+|a|b|cos 60=1+=.2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则(a+b)(2a-b)=()A.B.-C.-D.【解析】选A. =2a2-b2+ab=2-3+1=.3.(2020广州高一检测)已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,ab= -3,则a与b的夹角是()A.150B.120C.60D.30【解析】选B.设a与b的夹角为,则cos =-,因为0180,所以=120.【补
2、偿训练】已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,ab=1,则向量a与a-b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选A.|a-b|=,设向量a与a-b的夹角为,则cos =,又因为0,所以=.4.如图,AB是圆C的弦,设=a,=b,则向量在向量上的投影向量为_(用a或b表示).【解析】如图所示,过点C作CDAB,垂足为D,连接CB,则向量在向量上的投影向量为.因为CA=CB,所以D是AB的中点,所以=.答案:5.ABC三边的长分别为AC=3,BC=4,AB=5,若=,=,则=_.【解析】由题知=(+)=(+)=+=42+0=.答案:6.已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b
3、与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角.【解析】设a与b的夹角为,由已知条件得即-得23b2-46ab=0,所以2ab=b2,代入得a2=b2,所以|a|=|b|,所以cos =因为0,所以=. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在ABC中,若+=0,则在上的投影向量为()A.B.C.D.【解析】选A.因为0=+=(+)=,所以,又与的夹角为锐角,所以在上的投影向量为.2.设a,b是非零向量.“ab=|a|b|”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.设a与b的夹角为.因为ab=|a|b|cos =|a|b|
4、,所以cos =1,即a与b的夹角为0,故ab;而当ab时,a与b的夹角为0或180,所以ab=|a|b|cos =|a|b|,所以“ab=|a|b|”是“ab”的充分不必要条件.【补偿训练】若|a|=1,|b|=2,则|ab|的值不可能是()A.0B.C.2D.3【解析】选D.由向量数量积的性质知|ab|a|b|=2.3.如图,AB是圆O的直径,P是圆弧AB上的点,M,N是AB上的两个三等分点,且AB=6,则=()A.3B.4C.6D.8【解析】选D.=(+)(+)=-=8.【补偿训练】已知正三角形ABC的边长为1,设=c,=a,=b,那么ab+bc+ca的值是()A.B.C.-D.-【解析
5、】选C.因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,即|a|2+|b|2+|c|2+ 2(ab+bc+ca)=0,所以3+2(ab+bc+ca)=0,所以ab+bc+ca=-.4.已知非零向量a与b的夹角为,且|b|=1,|a+2b|=2,则|a|=()A.1B.2C.3D.23【解析】选B.方法一:因为|a+2b|=2,所以|a|2+4ab+4|b|2=4,又a与b的夹角为,|b|=1,所以|a|2-2|a|+4=4,所以|a|2-2|a|=0,又a0,所以|a|=2.方法二:如图1,设a=(m,0)(m0),因为a与b的夹角为,|b|=1,所以b=,所以a+2b=(m-1,).因为|a+
6、2b|=2,所以(m-1)2+3=4.因为m0,所以m=2,|a|=2.方法三:在如图2所示的平行四边形中,因为|b|=1,所以|2b|=2,又a与b的夹角为,|a+2b|=2,所以此平行四边形是菱形,所以|a|=2.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知两个单位向量a,b的夹角为60,则下列向量是单位向量的是()A. B.a-bC.a+bD.a-b【解析】选AD.因为a,b是单位向量,且夹角为60,所以ab=,|a|=|b|=1;所以=3=1,=a2-ab+b2=,=a2+ab+b2=,(a-b)2=a2-2ab+b2=1,所以和a-b
7、是单位向量.6.已知e1,e2是两个单位向量,R时,|e1+e2|的最小值为,则下列结论正确的是()A.e1,e2的夹角是B.e1,e2的夹角是或C.|=1或D.|e1+e2|=1或【解析】选BC.因为e1,e2是两个单位向量,且|e1+e2|的最小值为,所以(e1+e2)2的最小值为,所以(e1+e2)2=2+2e1e2+1=+,所以e1与e2的夹角为或,所以|e1+e2|2=1或3,所以|e1+e2|=1或.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知向量a,b的夹角为45,且|a|=4,(2a-3b)=12,则|b|=_;b在a上的投影向量的模等于_.【解析】ab=|a|b|cos 45=
8、4|b|cos 45=2|b|,又(2a-3b)=|a|2+ab-3|b|2=16+|b|-3|b|2=12,解得|b|=或|b|=-(舍去).b在a上的投影向量的模为|b|cos 45|=cos 45=1.答案:18.(2019全国卷改编)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-b,a与c的夹角为,则cos =_.【解析】因为c2=(2a-b)2=4a2+5b2-4ab=9,所以|c|=3,因为ac=a(2a-b)=2a2-ab=2,所以cos =.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020株洲高一检测)如图所示,在平行四边形ABCD中,若AB=8, AD=5,=3,(1
9、)若BAD=,求|的值;(2)若=2,求的值.【解析】(1)在平行四边形ABCD中,AB=8,AD=5,=3,当BAD=时,=+=+,所以=+=52+58cos +82=39,所以|=;(2)=+=+,=+=-,所以=- =25-64=2,解得=22.【补偿训练】已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角.【解析】(1)ab=|a|b|cos 120=42=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24ab+16b2=942-24(-4)+1622=304,所以|3a-4b|=4.(2)因为|a+
10、b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=42+2ab+22=(2)2,所以ab=-4,所以cos =-.又0,所以=.10.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.【解析】当夹角为时,也有(2te1+7e2)(e1+te2)0,但此时夹角不是钝角.设2te1+7e2=(e1+te2),0,则所以由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得所以(2te1+7e2)(e1+te2)0,化简得2t2+15t+70.解得-7t0,又|a|2=4,|b|2=9,ab=3,所以32+13+3
11、0,解得或.但是当=1时,向量a+b与a+b共线,其夹角不是锐角,故的取值范围是(1,+).1.八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|=1,则给出下列结论:=-;+=- ;在向量上的投影向量的模为.其中正确结论的个数为()A.3B.2C.1D.0【解析】选B.=11cos 135=-,所以正确;+= =-,所以正确;显然|1,在向量上的投影向量的模为,所以错误.2.已知a,b是非零向量,t为实数,设u=a+tb.(1)当|u|取最小值时,求实数t的值;(2)当|u|取最小值时,向量b与u是否垂直?【解析】(1)|u|2=|a+tb|2=(a+tb)(a+tb)=|b|2t2+2(ab)t+|a|2因为b是非零向量,所以|b|0,所以当t=时,|u|=|a+tb|的值最小.(2)垂直.因为b(a+tb)=ab+t|b|2=ab+=ab-ab=0,所以b(a+tb),即bu.关闭Word文档返回原板块
