1、专题过关检测六解析几何一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021浙江杭州二中月考)已知双曲线的实轴长为10,焦点到一条渐近线的距离为4,则它的离心率为()A.B.C.D.2.(2021浙江宁波三模)“点(a,b)在圆x2+y2=1外”是“直线ax+by+2=0与圆x2+y2=1相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2021陕西宝鸡三模)已知双曲线C:=1(a0,b0)的一条渐近线被圆x2+y2-10y=0截得的线段长等于8,则双曲线C的离心率为()A.B.C.3D.4
2、.(2021黑龙江哈师大附中月考)椭圆=1(p0)的焦点是双曲线=1的焦点,则p=()A.4B.3C.2D.15.(2021宁夏银川二模)已知抛物线y2=8x的焦点为F,经过点P(1,1)的直线l与该曲线交于A,B两点,且点P恰好为AB的中点,则|AF|+|BF|=()A.4B.6C.8D.126.(2021广东茂名二模)已知点P是双曲线C:=1右支上一点,F1,F2为双曲线C的左、右焦点.若PF1F2的周长为16,点O为坐标原点,则=()A.20B.-20C.40D.-407.(2021四川成都石室中学一模)已知圆C1:(x+2)2+y2=1,C2:(x-2)2+y2=49,动圆C满足与C1
3、外切且与C2内切,若M为C1上的动点,且=0,则|的最小值为()A.B.C.2D.8.(2021北京石景山一模)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切.则圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为()A.2B.3C.4D.6二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.
4、(2021湖南师大附中月考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于两点P(x1,y1),Q(x2,y2),点P在l上的射影为P1,则()A.|PQ|的最小值为4B.已知曲线C上的两点S,T到点F的距离之和为10,则线段ST的中点的横坐标是4C.设M(0,1),则|PM|+|PP1|D.过M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条10.(2021山东滨州一模)已知椭圆M:=1的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别是A1,A2,点P是椭圆上异于A1,A2的任意一点,则下列说法正确的是()A.|PF1|+|PF2|=5B.直线PA1与直线PA2的斜
5、率之积为-C.存在点P满足F1PF2=90D.若F1PF2的面积为4,则点P的横坐标为11.(2021新高考,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则()A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当PBA最小时,|PB|=3D.当PBA最大时,|PB|=312.(2021辽宁部分重点中学协作体联考)若双曲线C:=1,F1,F2分别为左、右焦点,设点P在双曲线上且是第一象限内的动点,点I为PF1F2的内心,点G为PF1F2的重心,则下列说法正确的是()A.双曲线C的离心率为B.点I的运动轨迹为双曲线的一部分C.若|PF1|=2
6、|PF2|,=x+y,则y-x=D.存在点P,使得IGF1F2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021全国乙,文14)双曲线=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.14.(2021江苏连云港模拟)圆锥曲线有丰富的光学性质,从椭圆焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过另一个焦点;从抛物线焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.已知椭圆C:=1(ab0)过点(3,1).由点P(2,1)发出的平行于x轴的光线经过抛物线C1:y2=16x反射到椭圆C上后,反射光线经点(-4,0),则椭圆C的方程为.15.(2021北京八一中学期末)古希腊
7、数学家阿波罗尼斯的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地,他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k0,且k1)的点的轨迹是圆,后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆:=1(ab0),A,B为椭圆长轴的端点,C,D为椭圆短轴的端点,动点M满足=2,MAB的面积的最大值为8,MCD的面积的最小值为1,则椭圆的离心率为.16.(2021山东青岛一模)2021年是中国传统的“牛”年,可以在平面直角坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象.已知抛物线Z:x2=4y的焦点为F,圆F:x2+(y-1)2=4与抛物线Z在第一象限的交点为P,直线l:x
8、=t(0tb0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过点F2且斜率不为0的直线与椭圆交于A,B两点,F1AF2的周长为4+2.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,求|的取值范围.19.(12分)(2021江苏泰州模拟)已知椭圆P:+y2=1的右顶点为A,点M(x0,y0)是椭圆P上异于A的一点,MNx轴于点N,B是MN的中点,过动点M(x0,y0)的直线l:x0x+4y0y=4与直线AB交于点C.(1)当x0=时,求证:直线l与椭圆P只有一个公共点;(2)求证:点C在定直线上运动.20.(12分)(2021安徽马鞍山二模(理)已知双曲线x2-=1(b1)的左焦点为F,右顶点为A,过
9、点F向双曲线的一条渐近线作垂线,垂足为P,直线AP与双曲线的左支交于点B.(1)设O为坐标原点,求线段OP的长度;(2)求证:PF平分BFA.21.(12分)(2021全国乙,理21)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求PAB面积的最大值.22.(12分)(2021湖南衡阳八中月考)已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,其离心率为,且过点P(4,2).(1)求双曲线C的方程;(2)过F1的两条相互垂直的直线分别交双曲线于A,B和C,D,M,N分
10、别为AB,CD的中点,连接MN,过坐标原点O作MN的垂线,垂足为H,是否存在定点G,使得|GH|为定值?若存在,求此定点G;若不存在,请说明理由.专题过关检测六解析几何1.C解析 不妨设焦点F(c,0)到渐近线y=x的距离为4,得d=b=4,又因为2a=10,解得a=5,所以c=所以e=2.B解析 命题p:点(a,b)在圆x2+y2=1外等价于a2+b21,命题q:直线ax+by+2=0与圆x2+y2=1相交等价于4,从而有pq,qp,所以p是q的必要不充分条件.3.D解析 双曲线=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,即aybx=0.圆的方程x2+y2-10y=0可化为x2+(y-5)2=2
11、5,则圆心为(0,5),半径为5,圆心到渐近线的距离为d=,由弦长公式可得8=2,化简可得b2=a2,c2=a2+b2=a2,则e=4.D解析 椭圆=1(p0)中,a2=4p2,b2=p2,所以c2=3p2.在双曲线=1中,a2=p,b2=2p,所以c2=3p,所以c2=3p2=3p,解得p=1.5.B解析 抛物线y2=8x中,p=4,其焦点F(2,0),准线方程x=-2,过点A,B,P作准线的垂线,垂足分别为M,N,R(图略).由抛物线定义可知,|AF|+|BF|=|AM|+|BN|.而P恰好为AB的中点,故PR是梯形ABNM的中位线,故|AM|+|BN|=2|PR|,又P(1,1),故|P
12、R|=1+=3,所以|AF|+|BF|=23=6.6.B解析 因为|F1F2|=2c=6,PF1F2的周长为16,所以|PF1|+|PF2|=10.因为|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|PF1|=7,|PF2|=3,所以)()=)=(32-72)=-20.7.B解析 易知圆C1的圆心C1(-2,0),圆C1的半径为r1=1.圆C2的圆心C2(2,0),半径为r2=7.|C1C2|=4|C1C2|=4,故圆心C的轨迹为椭圆,且该椭圆的焦点为C1,C2.设该椭圆的方程为=1(ab0),焦距为2c(c0),则2a=8,可得a=4;由2c=4,可得c=2;b=2,所以点C的轨迹方程为=1.由=0
13、,得CMC1M,且|=1,由椭圆的几何性质可得|min=a-c=2,故|min=8.A解析 因为在ABC中,AB=AC=4,所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一,则其“欧拉线”为ABC边BC的垂直平分线AD.因为点B(-1,3),点C(4,-2),所以D因为直线BC的斜率为=-1,所以BC的垂直平分线的斜率为1.所以BC的垂直平分线方程为y-=x-,即x-y-1=0.因为“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切,所以圆心(a,a-3)到“欧拉线”的距离为=r,可得r=因为圆心(a,a-3)到直线x-y+3=0的距离为=3,所以圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为
14、3=29.ABC解析 由题意知,=1,抛物线的焦点F(1,0),准线方程为x=-1.对于A,当PQx轴时,|PQ|取得最小值,最小值为2p=4,所以A正确;对于B,曲线C上的两点S,T到点F的距离之和为10,所以点S,T的横坐标之和为10-2=8,则线段ST的中点横坐标为4,所以B正确;对于C,设M(0,1),则|PM|+|PP1|=|PM|+|PF|FM|=,当且仅当M,P,F三点共线时取等号,所以C正确;对于D,当直线过点M(0,1)且与x轴平行时,直线与抛物线有且只有一个公共点.过点M(0,1)且与抛物线相切的直线有两条,此时直线与抛物线有且只有一个公共点,所以过点M(0,1)与抛物线有
15、且只有一个公共点的直线有3条,所以D错误.10.BD解析 由题意得a=5,b=2,c=,F1(-,0),F2(,0),A1(-5,0),A2(5,0),短轴一个顶点B2(0,2),|PF1|+|PF2|=2a=10,A错误;设P(x,y),则=1,y2=20,=20=-,B正确;因为tanOB2F2=1,所以0OB2F245,从而F1B2F2=2OB2F290,而P是椭圆上任一点,当P是短轴端点时F1PF2最大,因此不存在点P满足F1PF2=90,C错误;|F1F2|yP|=|yP|=4,|yP|=4,则=1,xP=,D正确.11.ACD解析 如图,记圆心为M,半径为r,则M(5,5),r=4
16、.由条件得,直线AB的方程为=1,整理得x+2y-4=0,过点M作MN垂直于直线AB,垂足为N,直线MN与圆M分别交于点P1,P2,圆心M(5,5)到直线AB的距离|MN|=,于是点P到直线AB的距离最小值为|P2N|=|MN|-r=-4,最大值为|P1N|=|MN|+r=+4.又-42,+40,y00),则G设PF1F2的内切圆半径为r,则|F1F2|y0=(m+n+2c)r,于是cy0=(m+n+2c)r,可得r=若IGF1F2,可得,即m+n=4c=12.又由m-n=2a=4,联立可得n=4,因此解得即存在点P(4,),使得IGF1F2,所以D正确.13解析 由双曲线方程可得c=3,即双
17、曲线的右焦点为F(3,0).则点F到直线x+2y-8=0的距离d=14=1解析 由题设知,抛物线C1:y2=16x的焦点为(4,0),由点P(2,1)发出的平行于x轴的光线经过抛物线C1反射后必过点(4,0),再经过椭圆C反射经过(-4,0),可知(4,0),(-4,0)为椭圆C的两个焦点,故c=4,而(3,1)在椭圆C上,由可得即椭圆C的方程为=1.15解析 设点M(x,y),设点A(-a,0),B(a,0),由=2可得|MA|=2|MB|,即=2整理可得x2+y2-x+a2=0,即+y2=a2,所以,点M的轨迹是以点为圆心,以a为半径的圆.点M到x轴的距离的最大值为a,则MAB的面积的最大
18、值为2aa=8,解得a=点M到y轴距离的最小值为,则MCD的面积的最小值为2b=1,可得b=c=,因此,椭圆的离心率为e=16.2(4,6)解析 如图所示.由解得故m=2.由解得所以A由解得所以B(t,1+).由抛物线的定义,知AF=AC,FAB的周长=FA+FB+AB=AC+AB+BF=BC+2=+4.因为t(0,2),所以+4(4,6).17.解 (1)设点P(x,y),根据题意得,化简得动点P的轨迹方程为y2=x.(2)M(3,),(x-2)2+y2=1,x=3即圆的一条切线,A(3,-).设过M的另一条切线斜率为k,k0,则切线方程为y-=k(x-3),又设B(x1,y1).由方程组得
19、y2-y+-2=0,+y1=,y1=直线为y-=k(x-3),其与圆相切,=1,k=y1=B满足y2=x,B,|AB|=|=18.解 (1)由题意得解得故b2=4-3=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)因为F2(,0),所以设直线AB的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2).由消去x得(m2+4)y2+2my-1=0,所以又=(x1+x2,y1+y2)=(my1+my2+2,y1+y2),所以|=2令t=,所以=36t2+3t.因为二次函数y=36t2+3t在t上单调递增,所以y=36t2+3t(0,3,因此|=2(0,2(当m=0时取得最大值),所以|(0,2.19.证明
20、 (1)不妨设y00,当x0=时,由=1得y0=,所以直线l的方程为x+4y=4,即y=-x+由解得故直线l与椭圆P的交点坐标为,所以直线l与椭圆P只有一个公共点.(2)因为M(x0,y0)(不妨取y00),MNx轴,B是MN的中点,所以B因为y00,所以x02,所以直线AB的方程为y=(x-2),即y=(x-2),联立得(+2-2x0)x=4x0-8+4又因为=1,所以=1-,因此x=4x0-8+4,即(x0-2)2x=-(x0-2)2,所以x=-2,所以点C在定直线x=-2上运动.20.(1)解 不妨设B在第二象限,则渐近线OP的方程为y=-bx,则直线PF的方程为y=(x+c).由得xP
21、=-=-,yP=,故P故|OP|=1.(2)证明 设直线PF的倾斜角为,则tan =,tan 2=又A(1,0),故直线AP的斜率为=-,则直线AP的方程为y=-(x-1).由得(c2+2c)x2+2x-(c2+2c+2)=0,xB=xAxB=-,yB=-(xB-1)=又F(-c,0),故直线BF的斜率为=tan 2,故PF平分BFA.21.解 (1)抛物线C的焦点为F,|FM|=+4,所以,F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为+4-1=4,解得p=2.(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=,对该函数求导得y=设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),直线PA
22、的方程为y-y1=(x-x1),即y=-y1,即x1x-2y1-2y=0.同理可知,直线PB的方程为x2x-2y2-2y=0.由于点P为这两条直线的公共点,则所以,点A,B的坐标满足方程x0x-2y-2y0=0,所以,直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.联立可得x2-2x0x+4y0=0.由韦达定理可得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,所以|AB|=点P到直线AB的距离为d=,所以,SPAB=|AB|d=-4y0因为-4y0=1-(y0+4)2-4y0=-12y0-15=-(y0+6)2+21,由已知可得-5y0-3,所以,当y0=-5时,PAB的面积取最大值2=2022.解 (1)
23、由题可知双曲线C的方程是=1.(2)存在定点G(-2,0),使得|GH|为定值,理由如下:由题意可知,若直线AB和CD其中一条没有斜率,则H点为(0,0),直线MN的方程为y=0,当直线AB和CD都有斜率时,因为点F1(-2,0),设直线AB的方程为y=k(x+2),设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),联立方程组得(1-2k2)x2-8k2x-16(3k2+1)=0,所以xA+xB=,xAxB=,故xM=,yM=k设直线CD的方程为y=-(x+2),设C(xC,yC),D(xD,yD),N(xN,yN),同理可得xC+xD=,xCxD=,故xN=,yN=-,所以kMN=-由y-yM=kMN(x-xM),得直线MN的方程为y-k=-,化简得y=-,可知直线MN过定点P(-4,0).又因为OHMN,所以点H的运动轨迹是以点(-2,0)为圆心,以|OP|=2为直径的圆,所以存在定点G(-2,0),使得|GH|为定值2
