1、6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理学 习 目 标核 心 素 养1掌握余弦定理及其推论(重点)2掌握余弦定理的综合应用(难点)3能应用余弦定理判断三角形的形状(易错点)1借助余弦定理的推导过程，提升逻辑推理素养2通过余弦定理的应用，培养数学运算素养.如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB km，AC1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角BAC150.问题：根据上述条件你能求出山脚BC的长度吗？1余弦定理文字表述三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角
2、的余弦的积的两倍符号语言a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C推论cos A；cos B；cos C思考：在ABC中，若a2b2c2，则ABC是锐角三角形吗？提示不一定因为ABC中a不一定是最大边，所以ABC不一定是锐角三角形2解三角形(1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例()(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况()(3)已知三角形的三边求
3、三个内角时，解是唯一的()(4)在ABC中，若b2c2a2，则A为锐角()(5)在ABC中，若b2c2a2，则ABC为钝角三角形()答案(1)(2)(3)(4)(5)2在ABC中，已知a9，b2，C150，则c等于()AB8C10D7D由余弦定理得c7.3在ABC中，已知a2b2c2bc，则角A等于()A60B45 C120D30C由cos A，A120.4在ABC中，若a2c2b2ab，则cos C_.a2c2b2ab，c2a2b2ab.又c2a2b22abcos C，2cos C1.cos C.已知两边与一角解三角形【例1】(1)在ABC中，已知b60 cm，c60 cm，A，则a_cm；
4、(2)在ABC中，若AB，AC5，且cos C，则BC_.(1)60(2)4或5(1)由余弦定理得：a 60(cm)(2)由余弦定理得：()252BC225BC，所以BC29BC200，解得BC4或BC5.已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其余角.跟进训练1在ABC中，a2，c，B45，解这个三角形. 解根据余弦定理得，b2a2c22accos B(2)2()222()cos 458，b2，又cos A，A60，C180(AB)75.已知三边解三角形【例2】在ABC中，已知a2，b62，c4，求A，B，C解根据余弦定理，cos A.A(0
5、，)，A，cos C，C(0，)，C.BAC，A，B，C.1已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一2若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解2已知ABC中，abc2(1)，求ABC中各角的度数解已知abc2(1)，令a2k，bk，c(1)k(k0)，由余弦定理的推论，得cos A，0A180，A45.cos B，0B180，B60.C180AB180456075.余弦定理的综合应用探究问题在ABC中，若c2a2b2，则C成立吗？反之若C，则c2a2b2成立吗
6、？为什么？提示成立因为c2a2b2，所以a2b2c20，由余弦定理的变形cos C0，即cos C0，所以C；反之若C，则cos C0，即0，所以a2b2c20，即c2a2b2.【例3】在ABC中，若(accos B)b(bccos A)a，判断ABC的形状. 解(accos B)b(bccos A)a，由余弦定理可得：ba，整理得：(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2，即(a2b2)(a2b2c2)0，a2b2c20或a2b2.a2b2c2或ab.故ABC为直角三角形或等腰三角形1(变条件)将例题中的条件“(accos B)b(bccos A)a”换为“acos Abcos Bccos
7、C”其它条件不变，试判断三角形的形状解由余弦定理知cos A，cos B，cos C，代入已知条件得abc0，通分得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形2(变条件)将例题中的条件“(accos B)b(bccos A)a”换为“lg alg clg sin Blg 且B为锐角”判断ABC的形状解由lg sin Blg lg ，可得sin B，又B为锐角，B45.由lg alg clg ，得，ca.又b2a2c22accos B，b2a22a22a2a2，ab，即
8、AB又B45，ABC为等腰直角三角形判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状一、知识必备1余弦定理2余弦定理的推论二、方法必备1用余弦定理可以解决两种解三角形的题型(1)已知三边解三角形(2)已知两边及一角解三角形2已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍1在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，则角A等于()A30B60C120D150B由题意知，(bc)2a2b2c22bca23bc，b2c2a2bc，cos A，A60.2在ABC
9、中，a7，b4，c，则ABC的最小角为()A B C DB由三角形边角关系可知，角C为ABC的最小角，则cos C，所以C，故选B3在ABC中，若a2bcos C，则ABC的形状为_等腰三角形a2bcos C2b，a2a2b2c2，即b2c2，bc，ABC为等腰三角形4在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知BC,2ba，则cos A_.由BC,2ba，可得bca，所以cos A.5在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程5x27x60的根，则第三边c的长为_45x27x60可化为(5x3)(x2)0，x1，x22(舍去)，cos C.根据余弦定理，c2a2b22abcos C523225316，c4，即第三边长为4.
