1、第2课时 测量高度、角度问题内 容 标 准学 科 素 养1.准确理解实际测量中常用的仰角、俯角、方向角等概念2.掌握测量高度的常见方法3.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等角度问题.运用直观想象提升数学运算发展逻辑推理转化数学抽象01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练 基础认识知识点 相关术语 知识梳理名称术语意义图示仰角与俯角在同一铅直平面内，目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做，目标视线在水平视线下方的叫做仰角俯角名称术语意义图示坡角坡面与水平面的夹角坡度坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的设坡角为，坡度为
2、 i，则 ihl比值tan 名称术语意义图示方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角自我检测1若 P 在 Q 的北偏东 37方向上，则 Q 在 P 的()A东偏北 53方向上 B北偏东 37方向上C南偏西 37方向上D西偏南 53方向上答案：C2在 200 m 的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为 30，60，则塔高为_答案：4003 m探究一 利用仰角测量高度阅读教材 P13的例 3测量器材：测角仪，卷尺方法步骤：(1)选水平基线 HG，使 H，G，B 三点共线，与 A 点构造一个面内的三角形(2)测量 HG 长度，和角度ADE，
3、ACE，测角仪高度为 h.(3)在ACD 中求 AC，在ACE 中求 AE，进而求 ABAEh.例 1 如图，在坡角为 15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60和 30，且第一排和最后一排的距离为 10 6 m，则旗杆的高度为_ m.解析 如图，设旗杆高为 h，最后一排为点 A，第一排为点 B，旗杆顶端为点 C，则 BChsin 602 33 h.在ABC 中，AB10 6 m，CAB45，ABC105，ACB30，由正弦定理，得 10 6sin 302 33 hsin 45，故 h30 m.答案 30方法技巧 此类题所
4、选基线与建筑物位于同一个平面内，一般要构造两个三角形，基线和建筑物分别是两个三角形的边，通过正、余弦定理求解跟踪探究 1.如图，要在山坡上 A，B 两处测量与地面垂直的铁塔CD 的高，由 A，B 两处测得塔顶 C 的仰角分别为 60和 45，AB 长为 40 m，斜坡与水平面成 30角，则铁塔 CD 的高为_ m.解析：延长 CD 交过 A，B 的水平线于 E，F，因为CAE60，CBF45，DBF30，所以BCF45，ACE30，BDF60，所以BCA15，ADC120，CBA15，CAD30.所以 ACAB40，在ACD 中，由正弦定理得，ACsinADCCDsinCAD，即4032CD1
5、2，解得 CD40 33.答案：40 33阅读教材 P14例 5测量器材：测角仪，卷尺方法步骤：(1)选基线(公路)AB.(2)在 A 点测山顶 D 在水平面上的射影点 E 的方向角(3)在 B 点测 E 的方向角及山顶的仰角(4)测出 AB 长度(5)在空间中运用三角形ABC 和BCD，求 CD.例 2 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测量点 C 和 D.现测得BCD，BDC，CDs，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为，求塔高 AB.解析 在BCD 中，BCD，BDC，CBD180()，BCsin ssin180，即 BCsin ssin，BCsin
6、sins.在ABC 中，由于ABC90，ABBCtan.ABBCtan sin tan sin s.方法技巧 对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线和基线所在的平面上取另外两点，这样四点可以构成两个小三角形其中，把不含未知高度的那个小三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理解决即可跟踪探究 2.如图，地平面上有一旗杆 OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线 AB，AB20 m，在 A 点处测得 P 点仰角OAP30，在 B 点处测得 P 点的仰角OBP45，又测得AOB60，求旗杆的高度 h.(结果保留两
7、个有效数字)解析：在 RtAOP 中，OAP30，OPh.OAOP1tan 30 3h.在 RtBOP 中，OBP45，OBOP1tan 45h.在AOB 中，AB20，AOB60，由余弦定理得 AB2OA2OB22OAOBcos 60，即 202(3h)2h22 3hh12，解得 h2 4004 3176.4，h13 m.即旗杆的高度 h 约为 13 m.探究二 利用俯角测量高度阅读教材 P1314例 4测量器材：测角仪方法步骤：(1)选基点 A.(2)在 C 处测 A 的俯角.(3)在 B 处测 A 的俯角.(4)解三角形，在斜三角形中求 AB，在 RtABD 中求 BD 或在斜三角形中求
8、 AC，在RtADC 中求 CD.例 3 飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔 15 000 m，速度为 1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 18，经过 108 s 后又看到山顶的俯角为 78，则山顶的海拔高度为()A(1518 3sin 18cos 78)kmB(1518 3sin 18sin 78)kmC(1520 3sin 18cos 78)kmD(1520 3sin 18sin 78)km解析 如图，作 CDAD，垂足为点 D.A18，CBD78，ACB60，AB1 00010813 60030(km)，在ABC 中，BC30sin 18sin 60 2
9、0 3sin 18.CDAD，CDBCsinCBD20 3sin 18sin 78(km)，山顶的海拔高度为(1520 3sin 18sin 78)km.故选 D.答案 D方法技巧 通过俯角构造三角形，运用正弦定理求解跟踪探究 3.如图，在离地面 200 m 的热气球上，观测到山顶 C 处的仰角为 15，山脚A 处的俯角为 45，已知BAC60，则山的高度 BC 为_ m.解析：根据题意，可得在 RtAMD 中，MAD45，MD200，所以 AM MDsin 45200 2.因为在MAC 中，AMC451560，MAC180456075，所以MCA180AMCMAC45，由正弦定理，得ACMA
10、sinAMCsinMCA 200 2 3222200 3，在 RtABC 中，BCACsinBAC200 3 32 300 m.答案：300探究三 测量角度阅读教材 P1516例 6方法步骤：(1)根据题意画出海轮的行驶方向及位置(2)解三角形，根据余弦定理求 AC，根据正弦定理求角(3)根据方向角的概念求航向例 4 某海上养殖基地 A 接到气象部门通知，位于基地南偏东 60方向，距离基地20(31)海里的海面上有一台风中心，影响半径为 20 海里，正以每小时 10 2海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(31)小时后开始影响基地，持续 2 小时求台风移动的方向
11、解析 如图所示，设刚接到通知时台风中心为 B，开始影响基地时台风中心为 C,2 小时后，开始不影响基地时台风中心为 D，则 B，C，D 在同一直线上，且 AD20，AC20.由题意知，AB20(31)，DC20 2，BC(31)10 2.在ADC 中，DC2AD2AC2，DAC90，ADC45.在ABC 中，由余弦定理得cosBACAC2AB2BC22ACAB 32，BAC30.又B 位于 A 的南偏东 60方向上，且 603090180，D 位于 A 的正北方向又ADC45，台风移动的方向为北偏西 45方向方法技巧 解决测量角度问题的注意点(1)明确方位角和方向角的含义(2)分析题意，分清已
12、知与所求，并根据题意画出正确的示意图，这是最关键的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用跟踪探究 4.某沿海四个城市 A，B，C，D 的位置如图所示，其中ABC60，BCD135，AB80 n mile，BC(4030 3)n mile，AD70 6 n mile，D 位于 A 的北偏东 75方向现在有一艘轮船从 A 出发沿直线航行，一段时间到达 D 后，轮船收到指令改向城市 C 直线航行，收到指令时城市 C 对于轮船的方位角是南偏西，则 sin _.解析：连接 AC(图略)，在ABC 中，根据余弦定理得 AC2802(4030 3)2280(403
13、0 3)cos 60，解得 AC50 3(n mile)再根据正弦定理ABsinACBACsinABC，得 sinACB45，则 cosACB35，于是 sin(135ACB)22 35 22 457 210.在ACD 中，根据正弦定理 ACsin DADsin135ACB，得 sin D12，所以 D30，因此根据题意，753045，所以 sin 22.答案：22课后小结测量高度时常见的三种数学模型及其特征(1)有以下三种数学模型底部可到达底部不可到达解直角三角形解直角三角形解一般三角形(2)特征底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两
14、次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面此类问题中观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”(3)解三角形应用题的方法步骤解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所求三角形的边角的大小，从而得出实际问题的解这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：素养培优方程、不等式思想在三角形实际应用中的展现据气象台预报，距 S 岛正东方向 300 km 的 A 处有一台风中心
15、形成，并以每小时 30 km的速度向北偏西 30的方向移动，在距台风中心 270 km 以内的地区将受到台风的影响，问：S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时 S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由解析：设台风中心经过 t 小时到达 B 点，由题意，SAB903060，在SAB 中，SA300，AB30t，SAB60，由余弦定理得：SB2SA2AB22SAABcosSAB3002(30t)2230030tcos 60，若 S 岛受到台风影响，则应满足条件|SB|270，即 SB22702，化简得 t210t190，解得 5 6t5 6，所以从现在起，经过 5 6小时 S 岛开始受到影响，5 6小时后影响结束持续时间为(5 6)(5 6)2 6小时即 S 岛受台风影响，从现在起，经过(5 6)小时台风开始影响 S 岛，持续 2 6小时04 课时 跟踪训练
